tion de la classe avec les classes , , etc. respectivement, ces classes seront toutes improprement primitives, ambiguës et de même déterminant . Le théorème sera donc prouvé, aussitôt que nous aurons démontré que toutes les classes , , , etc. sont différentes , et qu’il n’y a pas d’autres classes ambiguës, improprement primitives et de déterminant . Pour y parvenir, nous distinguerons deux cas :
1o . Quand le nombre des classes improprement primitives est égal au nombre des classes proprement primitives, chacune des premières naît de la composition de la classe avec une classe déterminée proprement primitive ; d’où il suit que , , , etc. seront nécessairement toutes différentes. Mais en désignant par une classe quelconque ambiguë improprement primitive de déterminant , on peut trouver une classe proprement primitive , telle qu’on ait , et si la classe est opposée à la classe , on aura aussi , puisque et sont elles-mêmes leurs opposées ; donc on a nécessairement , et partant est une classe ambiguë. se trouvera donc parmi les classes , , , etc., et parmi les classes , , , etc.
2o . Quand le nombre de classes improprement primitives est trois fois moins grand que celui des classes proprement primitives, soit la classe dans laquelle est la forme , celle dans laquelle est la forme ; et seront proprement primitives, et différentes tant entre elles qu’avec la classe principale ; on a d’ailleurs , , . Si maintenant est une classe quelconque improprement primitive de déterminant qui résulte de la composition de la classe avec une classe proprement primitive , on aura aussi , , et il n’y aura que les trois classes (proprement primitives et différentes) , , qui, composées avec , aient pour résultante. Donc si est une classe ambiguë et que soit opposée à , on aura, comme ci-dessus, et partant sera une des trois classes , , ; or si , sera une classe ambiguë ; si , on aura ; donc est une classe
