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ARITHMÉTIQUES.

que nous sommes forcés de supprimer ; cependant nous ne pouvons passer sous silence le suivant, qui est remarquable par son élégance. Nous avons fait voir que pour un déterminant positif $p$ , qui est un nombre premier de la forme $4n+1$ , il n’y avait qu’une classe ambiguë proprement primitive ; ainsi toutes les formes ambiguës proprement primitives de ce déterminant, sont proprement équivalentes entre elles. Si donc $b$ est le nombre entier immédiatement au-dessous de ${\sqrt {p}}$ et que l’on fasse $p-b^{2}=a'$ , les formes $(1,b,-a')$ , $(-1,b,a')$ seront proprement équivalentes ; et partant, comme elles sont évidemment toutes les deux réduites, l’une sera contenue dans la période de l’autre. En attribuant à la première l’indice $0$ dans sa période, celui de la seconde sera nécessairement impair, puisque leurs termes extrêmes sont de différens signes ; supposons-le $=2m+1$ . On voit facilement que si les formes dont les indices sont $1$ , $2$ , $3$ , etc., sont respectivement

(-a',b',a''),\quad (a'',b'',-a'''),\quad (-a''',b''',a^{IV}),\ {\text{etc.}}\ ;

celles dont les indices sont $2m$ , $2m-1$ , $2m-2$ , $2m-3$ , etc., seront

$(a',b,-1),\ (-a'',b',-a'),\ (a''',b'',-a''),\ (-a^{IV},b''',a'''),\ {\text{etc.}}$

Il suit de là que si la forme dont l’indice est $m$ , est $(A,B,C)$ , la même sera $(-C,B,-A)$ ; donc $C=-A$ et $p=B^{2}+A^{2}$ ; donc tout nombre de la forme $4n+1$ est decomposable en deux quarrés, proposition que nous avons déjà démontrée (n^o 182), mais par des principes tout-à-fait différens. Et nous pouvons parvenir à cette décomposition d’une manière uniforme, en développant la période de la forme réduite dont le premier terme est $1$ , et dont le déterminant est le nombre à partager, jusqu’à ce que nous trouvions une forme dont les deux termes extrêmes soient égaux et désigné contraire. Ainsi, par exemple, pour $p=233$ , on a

$(1,15,-8)$ ,	$(-8,9,19)$ ,	$(19,10,-7)$ ,
$(-7,11,16)$ ,	$(16,5,-13)$ ,	$(-13,8,13)$ ,

d’où $233=64+169$ . Au reste, il est clair que la forme $(A,B,-A)$ devant être proprement primitive, $A$ sera nécessairement impair, et partant, $B$ pair. Comme pour un déterminant