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RECHERCHES

Si l’on multiplie par $a$ la forme

$f=ax^{2}+a'x'^{2}+a''x''^{2}+2bx'x''+2b'xx''+2b''xx'$

de déterminant $D$, et que l’on désigne, comme au n^o 268, par $A$, $A'$, $A''$, $B,$ $B',$ $B''$ les coefficiens de la forme adjointe à $f$ on trouve

$g=af=(ax+b''x'+b'x'')^{2}-A''x'^{2}+2Bx'x''-A'x''^{2}\ ;$

multipliant ensuite par $A'$, il vient

$h=A'af=A'(ax+b''x'+b'x'')^{2}-(A'x''-Bx')^{2}+aDx'^{2}\ ;$

d’où il suit que $A'af$ est négatif si $aD$ et $A'$ le sont, et parconséquent que le signe de $f$ est nécessairement opposé à celui de $A'a$, c’est-à-dire que $f$ est de même signe que $a$ ou de signe opposé à $D$. Ainsi la forme $f$ sera définie dans ce cas-là, et sera positive ou négative, suivant que $a$ est positif ou négatif, ou suivant que $D$ est négatif ou positif.

Mais si $aD$ et $a'$ sont positifs, ou que l’un des deux le soit, aucun n’étant $=0$, on voit facilement qu’en déterminant convenablement les valeurs des indéterminées, $h$ pourra être positif ou négatif, et que partant $f$ pourra obtenir des valeurs, tant de même signe que de signe opposé à $h$ ; donc $f$ sera une forme indéfinie.

Pour le cas où $A'=0$, sans qu’on ait aussi $a=0$, on aura

$af=(ax+b''x'+b'x'')^{2}-x'(A''x'-2Bx''),$

en donnant à $x'$ une valeur arbitraire, qui cependant ne soit pas $=0$, et prenant $x''$ tel que le signe de ${\frac {A''x'}{2B}}-x''$ soit le même que celui de $Bx'$, ce qui est possible, car $B$ n’est pas $=0$, puisqu’on aurait $B^{2}-A'A''=aD=0$, et partant $D=0$ ; alors $x'(A''x'-2Bx'')$ sera une quantité positive, et l’on voit aisément que $x$ pourra être déterminé de manière que $af$ obtienne une valeur négative ; il est même évident que ces valeurs peuvent être prises, si l’on veut, de manière qu’elles soient toutes entières. Enfin, $x'$ et $x''$ ayant des valeurs quelconques, on peut prendre $x$ assez grand pour que $af$ devienne positif. Donc, dans ce cas, la forme $f$ est indéfinie.