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ARITHMÉTIQUES.

2^o. Mais si l’on fait $\alpha =1$, $\beta =0$, $\gamma =0$, $\alpha '=0$, $\alpha ''=0$, on aura $k=\beta '\gamma ''-\beta ''\gamma '=\pm 1$, et la substitution adjointe à $S$ deviendra

$\pm 1,\ 0,0\ ;\qquad 0,\ \gamma '',\ -\beta ''\ ;\qquad 0,\ -\gamma ',\ \beta ',$

par laquelle $F$ se change en $G$. On a ainsi

$m$	$=a$,
$n'$	$=b'\gamma ''+b''\gamma '$,
$n''$	$=b'\beta ''+b''\beta '$,
$m'$	$=a'\beta '^{2}+2b\beta '\beta ''+a''\beta ''^{2}$,
$m''$	$=a'\gamma '^{2}+2b\gamma '\gamma ''+a''\gamma ''^{2}$,
$n$	$=\alpha '\beta '\gamma '+b(\beta '\gamma ''+\beta ''\gamma ')+\alpha ''\beta ''\gamma ''$ ;
$M'$	$=A'\gamma ''^{2}-2B\gamma '\gamma ''+A''\gamma '^{2}$,
$N$	$=-A'\beta ''\gamma ''+B(\beta '\gamma ''+\beta ''\gamma ')-A''\beta '\gamma '$,
$M''$	$=A'\beta ''^{2}-2B\beta '\beta ''+A''\beta '^{2}$,

d’où il suit que la forme binaire $(A'',B,A')$ dont le déterminant est $Da$, se change par la substitution $\beta '$, $-\gamma '$, $-\beta ''$, $\gamma ''$, en la forme $(M'',N,M')$ de déterminant $Dm$ ; et à cause de l’équation $\beta '\gamma ''-\beta ''\gamma '=\pm 1$, ou de $Da=Dm$, ces deux formes sont équivalentes. Ainsi, à moins que la forme $(A',D,A')$ ne soit déjà la plus simple de sa classe, les coefficiens $\beta '$, $\gamma '$, $\beta ''$, $\gamma ''$ pourront être déterminés de manière que $(M'',N,M')$ soit plus simple ; et même cette réduction peut se faire de manière que $M''$, sans égard au signe, ne soit pas plus grand que ${\sqrt {\pm {\frac {4}{3}}D}}$ ; ensorte que l’on réduit la forme $f$ à une autre qui a le même premier coefficient, mais dans la forme adjointe de laquelle le troisième coefficient est moindre, s’il y a lieu, que celui de la forme $F$ adjointe à $f$. C’est en cela que consiste la seconde réduction.

3^o. Si donc $f$ est une forme ternaire à laquelle aucune de ces deux réductions ne soit applicable, c’est-à-dire, qui ne puisse par aucune se changer en une plus simple, on aura alors nécessairement $a^{2}<$ ou $={\frac {4}{3}}A$, et $A^{2}<$ ou $={\frac {4}{3}}aD$, sans avoir égard au signe. Donc $a^{4}$ sera $<$ ou $={\frac {16}{9}}A^{2}$, et partant, $a^{4}<$ ou $={\frac {64}{27}}aD$, et $a^{3}<$ ou $={\frac {64}{27}}D$ ; donc $a<$ ou $={\frac {4}{3}}{\sqrt[{3}]{D}}$, et $A^{2}<$ ou $={\frac {16}{9}}{\sqrt[{3}]{D^{4}}}$, et parconséquent $A<$ ou $={\frac {4}{3}}{\sqrt[{3}]{D^{2}}}$. Ainsi, quand $A$ et $a$ surpassent ces limites, nécessairement l’une ou l’autre des réductions précédentes peut être appliquée à la forme $f$. Au reste, il ne faut pas renverser cette conclusion, puisqu’il arrive souvent qu’une forme ternaire dont le premier et le troisième coefficient sont au-dessous de ces limites, peut néanmoins être rendue plus simple par l’une ou l’autre de ces réductions.

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