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ARITHMÉTIQUES.

$1,\ 0,\ 0\ ;\qquad 0,\ 2,\ -7\ ;\qquad 0,\ -3,\ 11,$

par laquelle on trouve qu’elle se change en $f'={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}19,&334,&4769\\-1229,&301,&-82\\\end{pmatrix}}\end{array}}$. Le troisième coefficient de la forme adjointe à $f'$ est $-2$, et partant, celle-ci doit être regardée comme plus simple que $f$.

On peut appliquer à la forme $f'$ la première réduction. La forme binaire $(19,-82,354)$ se changeant en $(1,0,2)$ par la transformation $13$, $4$, $3$, $1$, on aura pour la forme $f$ la transformation

$13,\ 4,\ 0\ ;\qquad 3,\ 1,0\ ;\qquad 0,\ 0,\ 1,$

par laquelle elle se change en la forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&2,&4769\\-95,&16,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}=f''$.

On peut appliquer de nouveau la seconde réduction à la forme $f''$ qui a pour adjointe ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-513,&-4513,&-2\\-95,&32,&1520\\\end{pmatrix}}\end{array}}$. En effet, la forme binaire $(-2,-95,-4513)$ se change par la substitution $47$, $1$, $-1$, $0$, en $(-1,1,-2),$ d’où $f''$ se change par la substitution

$1$, $0$, $0$ ; —$0$, $47$, $-1$ ; —$0$, $1$, $0$,

en la forme $f''={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&257,&2\\1,&0,&16\\\end{pmatrix}}\end{array}}$. Le premier coefficient de cette forme ne peut plus être réduit par la première réduction, ni le troisième de la forme adjointe par la seconde.

Exemple II. Soit $f={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}10,&26,&2\\7,&0,&4\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ qui a pour adjointe la forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-3,&-20,&-244\\70,&-28,&8\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ et $2$ pour déterminant. On trouve successivement par l’application alternative des deux réductions,

	les substitutions		par lesquelles les formes		se changent en
$1,0,0\ ;$	$0,-1,0\ ;$	$0,4,-1$	…$f$…	…$f'$	$={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}10,&2,&2\\-1,&0,&-4\\\end{pmatrix}}\end{array}}$
$1,0,0\ ;$	$0,-1,0\ ;$	$0,4,-1$	…$f'$…	…$f''$	$={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}2,&2,&2\\2,&-1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$
$0,-1,0\ ;$	$1,-2,0\ ;$	$0,0,1$	…$f''$…	…$f'''$	$={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}2,&2,&2\\-2,&1,&-2\\\end{pmatrix}}\end{array}}$
$1,0,0\ ;$	$1,1,0\ ;$	$0,0,1$	…$f'''$…	…$f^{IV}$	$={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&2,&2\\-2,&-1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$

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