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RECHERCHES

sont $\equiv 5{\pmod {11}}.$ La même chose n’a pas lieu dans les congruences des degrés supérieurs, et dans celles du premier degré où le coefficient de l’inconnue n’est pas premier avec le module.

27. Il nous reste à donner quelques détails sur la manière de résoudre ces congruences. Observons d’abord que la congruence $ax+t\equiv u,$ dans laquelle le module est supposé premier avec $a,$ dépend de celle-ci, $ax\equiv \pm 1.$ En effet, si $x\equiv r$ satisfait à celle-ci, $x\equiv \pm r(u-t)$ satisfera à la première ; mais en désignant le module par $b,$ la congruence $ax\equiv \pm 1$ équivaut à l’équation indéterminée $ax=by\pm 1,$ dont la solution est connue ; aussi nous nous contenterons de donner ici l’algorithme du calcul.

Si les quantités $A,B,C,$ etc. dépendent de $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ etc. de manière qu’on ait $A=\alpha ,$ $B=\beta A+1,$ $C=\gamma B+A,$ $D=\delta C+B,\,{\text{etc.}}\,;$ nous les représenterons pour abréger, par $A=[\alpha ],\,B=[\alpha ,\beta ],$ $C=[\alpha ,\beta ,\gamma ],$ $D=[\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ],\,{\text{etc.}}$ ^[1]. Soit maintenant l’équation $ax=by\pm 1,$ où $a\ et\ b$ sont positifs. Supposons, ce qui est permis, que $a$ n’est pas $<b.$ Alors en opérant comme on le fait ordinairement pour la recherche du plus grand diviseur commun, on formera par la division les équations

a=\alpha b+c,\quad b=\beta c+d,\quad c=\gamma d+e,\quad {\text{etc.}}

dans lesquelles $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\delta ,\,{\text{etc.}},$ sont entiers et positifs : et $b,\,c,\,d,\,{\text{etc.}}$ vont en diminuant continuellement jusqu’à ce qu’on

↑ On peut considérer cette relation de quantités d’une manière plus générale, ainsi que nous pourrons le faire dans une autre occasion. Nous ajouterons seulement ici deux propositions qui trouvent leur application dans la question présente, savoir :
1^o . $[\alpha ,\beta ,\gamma ,\dots \lambda ,\mu ].[\beta ,\gamma ,\ldots \lambda ]-[\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots \lambda ].[\beta ,\gamma ,\dots \lambda ,\mu ]=\pm 1\,;$ où l’on prendra le signe supérieur, lorsque le nombre des quantités $\alpha$ sera pair, et le signe inférieur dans le cas contraire.

2^o . On peut renverser l’ordre des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\,{\text{etc.}}$ , etc. ; de sorte que $[\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots \lambda ,\mu ]=[\mu ,\lambda ,\ldots \gamma ,\beta ,\alpha ]$

Nous supprimons ici les démonstrations qui n’offrent aucune difficulté.

[1] On peut considérer cette relation de quantités d’une manière plus générale, ainsi que nous pourrons le faire dans une autre occasion. Nous ajouterons seulement ici deux propositions qui trouvent leur application dans la question présente, savoir :
1^o . $[\alpha ,\beta ,\gamma ,\dots \lambda ,\mu ].[\beta ,\gamma ,\ldots \lambda ]-[\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots \lambda ].[\beta ,\gamma ,\dots \lambda ,\mu ]=\pm 1\,;$ où l’on prendra le signe supérieur, lorsque le nombre des quantités $\alpha$ sera pair, et le signe inférieur dans le cas contraire.

2^o . On peut renverser l’ordre des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\,{\text{etc.}}$ , etc. ; de sorte que $[\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots \lambda ,\mu ]=[\mu ,\lambda ,\ldots \gamma ,\beta ,\alpha ]$

Nous supprimons ici les démonstrations qui n’offrent aucune difficulté.

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