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RECHERCHES

prouvera de même que $\mu$ est premier avec $b$ et $c$ ; donc il devrait diviser $A$, $B$, $C$, contre l’hypothèse. On pourra donc trouver trois nombres $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma$, tels que l’on ait $\alpha Aa+\beta Bb+\gamma Cc=1$ : on cherchera six nombres $\alpha ',$ $\beta ',$ $\gamma '$ ; $\alpha '',$ $\beta '',$ $\gamma ''$ tels qu’on ait

$\beta '\gamma ''-\beta ''\gamma '$	$=Aa$,
$\gamma '\alpha ''-\gamma ''\alpha '$	$=Bb$,
$\alpha '\beta ''-\alpha ''\beta '$	$=Cc$ ;

la forme $f$ se changera, par la substitution

$\alpha$, $\alpha '$, $\alpha ''$ ; ——$\beta$, $\beta '$, $\beta '$ ; ——$\gamma$, $\gamma '$, $\gamma '',$

en une certaine forme ${\begin{array}{l}g={\begin{pmatrix}m,&m',&m''\\n,&n',&n''\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ qui lui sera équivalente, et dans laquelle $m'$, $m''$, $n$ seront divisibles par $abc$. Posons en effet

$\beta ''\gamma -\beta \gamma ''$	$=A',$—	$\gamma ''\alpha -\gamma \alpha ''$	$=B',$—	$\alpha ''\beta -\alpha \beta ''$	$=C',$
$\beta \gamma '-\beta '\gamma$	$=A'',$—	$\gamma \alpha '-\gamma \alpha$	$=B'',$—	$\alpha \beta '-\alpha '\beta$	$=C''\,;$

on aura

$\alpha '$	$=B''Cc$	$-C''Bb$,
$\beta '$	$=C''Aa$	$-A''Cc$,
$\gamma '$	$=A''Bb$	$-B''Aa$,
$\alpha ''$	$=C'Bb$	$-B'Cc$,
$\beta ''$	$=A'Cc$	$-C'Aa$,
$\gamma ''$	$=B'Aa$	$-A'Bb$,

et en substituant ces valeurs dans les équations

$m'$	$=a\alpha '^{2}$	$+b\beta '^{2}$	$+c\gamma '^{2}$,
$m''$	$=a\alpha ''^{2}$	$+b\beta ''^{2}$	$+c\gamma ''^{2}$,
$m'$	$=a\alpha '\alpha '$	$+b\beta '\beta ''$	$+c\gamma '\gamma ''$,

on trouve, suivant le module $a$,

$m'$	$\equiv bcA''^{2}$	$(B^{2}b+C^{2}c)$	$\equiv 0$,
$m''$	$\equiv bcA'^{2}$	$(B^{2}b+C^{2}c)$	$\equiv 0$,
$n$	$\equiv bcA'A''$	$(B^{2}b+C^{2}c)$	$\equiv 0$,

c’est-à-dire, que $m'$, $m''$, $n$ sont divisibles par $a$ : on démontre de même qu’ils sont divisibles par $b$ et par $c$, et ainsi par $abc$.

3^o. Faisons, pour abréger, le déterminant des formes $f$, $g$, c’est-à-dire, le nombre $-abc=d$, $md=M$, $m'=M'd$, $m''=M''d$, $n=Nd$, $n'=N'$, $n''=N''$ ; il est clair que $f$ se change, par la substitution

$\alpha d$, $\alpha '$, $\alpha ''$ ; ——$\beta d$, $\beta '$, $\beta '$ ; ——$\gamma d$, $\gamma '$, $\gamma '',$

en la forme ternaire ${\begin{array}{l}g'={\begin{pmatrix}Md,&M'd,&M''d\\Nd,&N'd,&N''d\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ déterminant $d^{3}$, qui est parconséquent contenue dans $f$. Or je dis que cette forme est nécessairement équivalente à la forme ${\begin{array}{l}g''={\begin{pmatrix}d,&0,&0\\d,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$. En effet, il est évident que ${\begin{array}{l}g''={\begin{pmatrix}M,&M',&M''\\N,&N',&N''\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ est une forme ternaire