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RECHERCHES

par laquelle $f$ se change en $g''$. Nous avons donc une double solution de l’équation proposée, savoir : $x=11$, $y=9$, $z=4$ ; $x=12$, $y=-9$, $z=3$. La dernière devient plus simple, en divisant les valeurs par leur diviseur commun $3$, et elle donne $x=4$, $y=-3$, $z=1$.

295. La seconde partie du théorème du n^o précédent peut encore être traitée de la manière suivante. Conservons aux lettres $H$, $K$, $L$ la même signification que dans le n^o précédent ; on cherchera un entier $h$ tel qu’on ait $ah\equiv L{\pmod {c}}$, et l’on fera $ah^{2}+b=ci$. Il est aisé de voir que $i$ est entier, et que $-ab$ est le déterminant de la forme binaire $\varphi =(ac,ah,i)$. Cette forme ne sera certainement pas positive, puisque $a$, $b$, $c$ n’étant pas tous de même signe, $ab$ et $ac$ ne peuvent pas être tous deux positifs. Or $-1$ sera son nombre caractéristique, ce qui peut se démontrer synthétiquement de la manière suivante : Si l’on détermine les entiers $e$, $e'$ de manière à avoir $e\equiv 0{\pmod {a}}$ et $\equiv K{\pmod {b}}$, $ce'\equiv H{\pmod {a}}$ et $\equiv {hK}{\pmod {b}}$, $(e,e')>$ sera une valeur de l’expression ${\sqrt {-(ac,ah,i)}}$ ; en effet, suivant le module $a$, on aura

$e^{2}$	$\equiv 0$	$\equiv -ac$
$ee'$	$\equiv 0$	$\equiv -ah$
$c^{2}e'^{2}$	$\equiv H^{2}$	$\equiv -bc$	$\equiv -c^{2}i$ ——ou—— $e'^{2}\equiv -i$ ;

et suivant le module $b$,

$c^{2}$	$\equiv K^{2}$	$\equiv -ac$
$cee'$	$\equiv hK^{2}$	$\equiv -ach$		——ou—— $ee'$	$\equiv -ah$,
$c^{2}e'^{2}$	$\equiv h^{2}K^{2}$	$\equiv -ach^{2}$	$\equiv -c^{2}i$	——ou—— $e'^{2}$	$\equiv -i$ ;

mais puisque les trois mêmes congruences ont lieu à-la-fois pour les modules $a$ et $b$, elles ont lieu aussi suivant le module $ab$. On conclut facilement de là, par la théorie des formes binaires, que $\varphi$ est représentable par la forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-1,&0,&0\\1,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$. Supposons donc

$act^{2}+2ahtu+iu^{2}=-(\alpha t+\beta u)^{2}+2(\gamma t+\delta u)(\epsilon t+\zeta u)\,;$

on aura, en multipliant par $c$,

$a(ct+hu)^{2}+bu^{2}=-c(\alpha t+\beta u)^{2}+2c(\gamma t+\delta u)(\epsilon t+\zeta u)\,;$

donc si l’on donne à $t$ et $u$ des valeurs telles que l’on ait $\gamma t+\delta u=0$ ou $\epsilon t+\zeta u=0$, on aura une solution de l’équa-