tion (ω), à laquelle parconséquent on peut satisfaire de deux manières, en faisant
| , | , | , | ||
| ou | , | , | . |
On voit en même temps que ni les premières ni les secondes valeurs ne peuvent être ensemble ; en effet, si l’on avait
et , il s’ensuivrait aussi , et partant
, d’où , contre l’hypothèse : on démontrerait de même pour les autres.
Dans l’exemple que nous avons donné, on trouve pour la forme celle-ci ; en outre est une valeur de l’expression , et la représentation de la forme par la forme est
d’où résultent les solutions ;
ou en divisant par et ne faisant pas attention au signe de
Des deux méthodes que nous venons de donner pour résoudre l’équation (ω), la seconde est préférable, parceque le plus souvent on n’emploie que de petits nombres ; mais la première, qui peut s’abréger par différens artifices que nous passerons sous silence, paraît plus élégante, surtout parceque les nombres , , sont traités de la même manière, et que leur permutation ne change rien au calcul. La même chose n’a pas lieu dans la seconde, où le calcul devient souvent plus commode en prenant pour a le plus petit, pour le plus grand des trois nombres, comme nous l’avons fait dans notre exemple.
296. Le théorème élégant que nous avons exposé dans les nos précédens, a été trouvé par Legendre (Hist, de l’Acad. de Paris, 1785, p. 507), qui en a donné une belle démonstration, mais entièrement différente des deux nôtres. Cet excellent géomètre a cherché en même temps à tirer de là une démonstration des propositions qui reviennent au théorème fondamental de la section précédente, démonstration que nous avons déjà annoncé (no 151) ne pas nous paraître remplir le but qu’il s’était proposé.
