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RECHERCHES
en désignant par le déterminant de la forme , ou par
le nombre .
Quand , la solution est semblable à celle de la fin du
cas précédent, savoir, si est un quarré , l’équation proposée se réduit aux deux
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mais si n’est pas un quarré, on doit avoir
,
——
Quand n’est pas , on est ramené à l’équation
, dont la possibilité se reconnaît par le
no précédent. Si cette dernière ne peut être résolue que par les
valeurs , , , la proposée n’admettra pas d’autre
solution que , , ; mais si elle est susceptible
d’autres solutions, on déduira d’une quelconque d’entre elles,
au moyen des équations
,
——,
——
des valeurs au moins rationnelles de , , . Si ces valeurs
renferment des fractions, on pourra toujours en tirer des entiers
à l’aide d’un multiplicateur convenable.
Cela posé, quand on a une solution en nombres entiers de
l’équation on peut réduire le problème au premier cas, et obtenir, comme on l’a fait, toutes les solutions. Soient ,
, les valeurs supposées de , , respectivement, délivrées
de facteurs communs ; on prendra (nos 40, 279) les nombres entiers , , , , , tels qu’on ait
la forme se changera, par la substitution
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,
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,
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……(S)
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en la forme
On aura évidemment , et équivalente à ; d’où il suit que des solutions de l’équation on déduira, à l’aide de la