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RECHERCHES


en désignant par le déterminant de la forme , ou par le nombre .

Quand , la solution est semblable à celle de la fin du cas précédent, savoir, si est un quarré , l’équation proposée se réduit aux deux


mais si n’est pas un quarré, on doit avoir

, ——

Quand n’est pas , on est ramené à l’équation , dont la possibilité se reconnaît par le no précédent. Si cette dernière ne peut être résolue que par les valeurs , , , la proposée n’admettra pas d’autre solution que , ,  ; mais si elle est susceptible d’autres solutions, on déduira d’une quelconque d’entre elles, au moyen des équations

, ——, ——


des valeurs au moins rationnelles de , , . Si ces valeurs renferment des fractions, on pourra toujours en tirer des entiers à l’aide d’un multiplicateur convenable.

Cela posé, quand on a une solution en nombres entiers de l’équation on peut réduire le problème au premier cas, et obtenir, comme on l’a fait, toutes les solutions. Soient , , les valeurs supposées de , , respectivement, délivrées de facteurs communs ; on prendra (nos 40, 279) les nombres entiers , , , , , tels qu’on ait


la forme se changera, par la substitution

,
,
……(S)


en la forme


On aura évidemment , et équivalente à  ; d’où il suit que des solutions de l’équation on déduira, à l’aide de la