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ARITHMÉTIQUES.

substitution (S), toutes les solutions de l’équation $f=0$ en nombres entiers. Or nous avons vu (I) que toutes les solutions de l’équation $g=0$ sont contenues sous les formules

$y$	$=-z$	$(c'p^{2}+2dpq+c''q^{2}),$
$y'$	$=2z$	$(d''p^{2}+d'pq),$
$y''$	$=2z$	$(d''pq+d'q^{2}),$

$p$ et $q$ étant des nombres entiers indéterminés, et $z$ un nombre indéterminé qui peut être fractionnaire, pourvu que $y$, $y'$, $y''$ restent entiers. En substituant ces valeurs dans (S), on aura toutes les solutions de l’équation $f=0$ en nombres entiers.

Ainsi, par exemple, si $f=x^{2}+x'^{2}+x''^{2}+4x'x''+2xx''+8xx'$, et que l’on ait la solution $x=1$, $x'=-2$, $x''=1$, en faisant $\beta$, $\beta '$, $\beta ''$, $\gamma$, $\gamma '$, $\gamma ''=0$, $1$, $0$, $0$, $0$, $1$, il en résulte $g=y'^{2}+y''^{2}-4y'y''+12yy''$. Toutes les solutions de l’équation $g=0$ en nombres entiers seront renfermées dans les formules

$y=-z(p^{2}-4pq+q^{2})$,——$y'=12zpq$, ——$y''=12zq^{2},$

et partant toutes celles de l’équation $f=0$, dans les suivantes :

$x$	$=-z$	$(p^{2}-4pq+q^{2}),$
$x'$	$=2z$	$(p^{2}+2pq+q^{2}),$
$x''$	$=-z$	$(p^{2}-4pq+11q^{2}).$

300. Le problème du n^o précédent conduit naturellement à la solution de l’équation

$ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx2+ey+f=0,$

lorsque l’on ne demande que des nombres rationnels (Nous l’avons résolue plus haut (n^os 216 et suiv.) dans le cas où l’on demande des entiers) ; car toutes les valeurs rationnelles de $x$ et $y$ pourront être représentées par ${\frac {t}{v}}$, ${\frac {u}{v}}$, de manière que $t$, $u$ et $p$ soient des entiers ; d’où il suit que la résolution de cette équation en nombres rationnels, revient à celle de l’équation

$at^{2}+2btu+cu^{2}+2dtv+2euv+fv^{2}=0,$

en nombres entiers ; mais cette dernière coïncide avec l’équation traitée au n^o précédent. On doit seulement exclure les solutions dans lesquelles $v=0$ ; mais il ne peut y en avoir de telles quand $b^{2}-ac$ n’est pas un quarré.

Ainsi, par exemple, toutes les solutions en nombres rationnels de l’équation

$x^{2}+8xy+y^{2}+2x-4y+1=0,$