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ARITHMÉTIQUES.

Nous devons observer enfin que toute équation $ax^{2}+2bxy+cy^{2}=M$, dans laquelle $b^{2}-ac$ est négatif et $=-D$, peut être facilement ramenée à la forme que nous avons considérée dans ce qui précède. Désignons en effet par $m$ le plus grand commun diviseur des nombres $a$ et $b$, et posons

$a=ma'$,——${\frac {D}{m}}=a'c-mb'^{2}$, ——$a'x+b'y=x'\,;$

il en résulte l’équation $mx'^{2}+ny'^{2}=a'M$, des solutions desquelles on ne doit conserver que celles dans lesquelles $x'-by'$ est divisible par $a'$, ou qui donnent des valeurs entières de $x$.

327. La solution directe de l’équation $ax^{2}+2bxy+cy^{2}=M$, contenue dans la Section V, suppose que l’on connaisse les valeurs de l’expression ${\sqrt {(b^{2}-ac)}}{\pmod {M}}$ ; mais réciproquement, pour le cas où $b^{2}-ac$ est négatif, la solution indirecte exposée dans les n^os précédens fournit, pour trouver ces valeurs, une méthode très-expéditive, qui est bien préférable à celle du n^o  322, surtout quand $M$ est un très-grand nombre. Nous supposerons que $M$ est nombre premier, ou du moins, s’il est composé, que ses facteurs sont encore inconnus ; en effet, si l’on savait que $M$ fût divisible par un nombre premier $p$, et que l’on eût $M=p^{\mu }M'$, de manière que $M'$ ne renfermât plus le facteur $p$, il serait bien plus commode de chercher séparément les valeurs de ${\sqrt {(b^{2}-ac)}}$ pour les modules $p^{\mu }$ et $M'$ (en déduisant les premières des valeurs pour le module $p$ (n^o 101)), et d’en conclure, par la combinaison, les valeurs pour le module $M$ (n^o 105).

Il faut donc chercher les valeurs de ${\sqrt {-D}}{\pmod {M}}$, où $D$ et $M$ sont supposés positifs, et $M$ contenu sous la forme des diviseurs de $x^{2}+D$ (n^o 147 et suivans) ; en effet, autrement il serait évident qu’aucun nombre ne satisferait à l’expression proposée. Soient $\pm r$, $\pm r'$, $\pm r''$, etc. les valeurs cherchées qui seront toujours opposées deux à deux, et

$D+r^{2}=Mh$,——$D+r'^{2}=Mh'$, ——$D+r''^{2}=Mh'',$

désignons par $K$, $-K$, $K'$, $-K'$, $K''$, $-K''$, etc. les classes auxquelles appartiennent les formes $(M,r,h)$, $(M,-r,h)$, $(M,r',h')$, $(M,-r',h')$, $(M,r'',h'')$, $(M,-r'',h'')$, etc.,

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