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RECHERCHES

et par Γ l’ensemble de ces classes. Généralement parlant, ces classes doivent être regardées comme inconnues ; cependant il est clair, 1^o. qu’elles sont toutes positives et proprement primitives ; 2^o. qu’elles appartiennent toutes à un même genre, dont le caractère peut facilement se conclure de la nature du nombre $M$, c’est-à-dire, de ses relations avec les différens diviseurs premiers de $D$, et de plus avec $4$ ou $8$, quand il y a lieu (n^o 230). Puisque nous avons supposé que $M$ est contenu sous une forme de diviseurs de $x^{2}+D$, nous sommes sûrs d’avance qu’il répond à ce caractère un genre positif proprement primitif de formes de déterminant $-D$, quand bien même l’expression ${\sqrt {-D}}{\pmod {M}}$ ne pourrait être satisfaite. Donc, puisque ce genre est connu , on peut trouver toutes les classes qui y sont contenues ; désignons-les par $C$, $C'$, $C''$, etc., et leur ensemble par G, Les différentes classes $K$, $-K$, etc. doivent être identiques avec quelque classe comprise dans G ; il peut arriver aussi que plusieurs classes de Γ soient identiques entre elles et qu’elles le soient parconséquent avec une même de G, et quand G n’en contient qu’une seule, il est certain que toutes les classes de Γ coïncident avec elle. Donc si des classes $C$, $C'$, $C''$, etc., on tire les formes les plus simples $f$, $f'$, $f''$, etc. respectivement, une forme de chaque classe de Γ se trouvera parmi elles. Or si $ax^{2}+2bxy+cy^{2}$ est une forme contenue dans la classe $K$, il y aura deux représentations du nombre $M$, par cette forme, appartenantes à la valeur $r$, et si l’une est $x=m$, $y=n$, l’autre sera $x=-m$, $y=-n$. On doit excepter le seul cas où $D=1$, dans lequel il y aurait quatre représentations (n^o 180).

Il suit de là que si on cherche toutes les représentations du nombre $M$ par les différentes formes $f$, $f'$, $f''$, etc., par la méthode indirecte exposée précédemment, et qu’on en tire les valeurs de l’expression ${\sqrt {-D}}{\pmod {M}},$ auxquelles chacune d’elles appartient (n^o 154 et suivans), on aura toutes les valeurs de cette expression et même chacune d’elles deux fois, ou quatre fois si $D=1$. Si parmi les formes $f$, $f'$, etc., il s’en trouve quelques-unes par lesquelles M ne puisse pas être représenté, il s’ensuit qu’elles n’appartiennent à aucune classe de Γ, et que parconséquent elles doivent être négligées ; et si $M$ ne pouvait être