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RECHERCHES

Si $\mathrm {a,\,a',\,a'',}$ etc. sont tous les diviseurs de $\mathrm {A}$, l’unité et $\mathrm {A}$ y compris, on aura $\varphi a+\varphi a'+\varphi a''+{\text{etc}}.=\mathrm {A}$. Par exemple, si $A=30$, on aura

	$\varphi 1+$	$\varphi 2+$	$\varphi 3+$	$\varphi 5+$	$\varphi 6+$	$\varphi 10+$	$\varphi 15+$	$\varphi 30$
$=$	$1\;+$	$1\;+$	$2\;+$	$4\;+$	$2\;+$	$4\;\;+$	$8\;\;+$	$8\;\;$
$=$	$30$.

Démonstration. Si l’on multiplie tous les nombres premiers avec $a$ et non plus grands que lui par ${\frac {A}{a}}$, de même tous les nombres $A$ premiers avec $a'$ par ${\frac {A}{a'}}$, etc. ; on aura $\varphi a+\varphi a'+\varphi a''+{\text{etc}}.$ nombres tous non plus grands que $A$ ; mais

1^o . Tous ces nombres seront inégaux ; car il est évident que ceux qui proviennent du même diviseur de $A$ sont tous inégaux. D’ailleurs s’il en résultait deux égaux provenant de diviseurs différens $M$ et $N$, et de nombres $\mu$ et $\nu$ qui leur soient respectivement premiers ; c’est-à-dire, si l’on avait ${\frac {A}{M}}\mu ={\frac {A}{N}}$, ou bien $N\mu =M\nu$ ; en posant $M>N$, (ce qui est permis ), il s’ensuivrait, puisque $M$ est premier avec $\mu$ et qu’il divise $N\mu$ qu’il devrait aussi diviser $N$, ce qui est absurde.

2^o . Entre ces nombres on trouvera tous ceux qui composent la suite $1,2,3...A$. En effet, soit $t$ un nombre quelconque qui ne surpasse pas $A$, et le plus grand commun diviseur entre $A$ et $t$, ${\frac {A}{\delta }}$ sera le diviseur de $A$ avec lequel ${\frac {t}{\delta }}$ sera premier. Donc le nombre $t$ se trouvera parmi ceux qui ont été produits par le diviseur ${\frac {A}{\delta }}$ ;

3^o . Il suit de là que le nombre total en est $A$ ; donc $\varphi a+\varphi a'+\varphi a''+{\text{etc}}.$

40. Si $\mu$ est le plus grand diviseur commun des nombres $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {C} ,$ $\mathrm {D} ,$ etc. on peut toujours déterminer les nombres $\mathrm {a,\ b,\ c,\ d,}$ etc. de manière qu’on ait $\mathrm {aA+bB+cC+}$ etc. $=\mu .$

Considérons d’abord deux nombres $A$ et $B$ seulement, et soit $\lambda$ leur plus grand diviseur commun. Alors la congruence $Ax\equiv \lambda {\pmod {B}}$ sera résoluble (n^o 30). Soit la racine $\equiv \alpha$, et que l’on fasse ${\frac {\lambda -A\alpha }{B}}=\beta$, on aura $\alpha A+\beta B=\lambda$,

S’il