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RECHERCHES

simple expression, aura son dénominateur divisible par $p^{t+\tau }.$ Si les autres termes sont fractionnaires, leurs dénominateurs ne contiendront que des puissances de $p$ moindres que $p^{t+\tau },$ puisque chacun d’eux est le produit de deux facteurs, dont l’un ne contient qu’une puissance de $p$ plus petite que $p^{t}$ ou $p^{\tau },$ et l’autre une puissance non plus grande que $p^{t}$ ou $p^{\tau }.$ Ainsi $GT$ sera de la forme ${\frac {e}{fp^{t+\tau }}}$, et le reste de la forme ${\frac {e'}{f'p^{t+\tau -\delta }}},$ $e,$ $f$ et $f'$ étant indépendans de $p.$ Donc la somme sera ${\frac {ef'+e'fp^{\delta }}{ff'p^{t+\tau }}}$ dont le numérateur n’est pas divisible par $p,$ et dont parconséquent le dénominateur ne peut être ramené à renfermer une puissance de $p$ moindre que $p^{t+\tau }.$ Donc le coefficient du terme dans le produit de $(P)$ par $(Q)$ sera ${\frac {ef'+e'fp^{\delta }}{ff'p^{t+\tau -1}}},$ c’est-à-dire une fraction dont le dénominateur renferme la puissance $t+\tau -1$ de $p.$

43. La congruence du degré $m$

$Ax^{m}+Bx^{m-1}+Cx^{m-2}+\ {\text{etc}}.\ +Mx+N\equiv 0,$

dont le module est un nombre premier $\mathrm {p}$ qui ne divise pas $\mathrm {A}$, ne peut pas être résolue de plus de $\mathrm {m}$ manières, ou n’a pas plus de $\mathrm {m}$ racines incongrues suivant $\mathrm {p} .$

En effet, supposons, s’il est possible, qu’on donne des congruences de différens degrés $m,\ n$, etc., qui aient plus de $m,\ n$, etc. racines ; soit $m$ le plus petit des nombres $m$, $n$, etc. ; desorte que toutes les congruences d’un degré inférieur à $m$ s’accordent avec notre proposition. Comme elle est démontrée plus haut (n^o 26) pour le premier degré, $m$ sera $=2$ ou $>2$. Admettons donc que la congruence……
$Ax^{m}+Bx^{m-1}+Cx^{m-2}+\ {\text{etc.}}\ +Mx+N\equiv 0,$ ait au moins $m+1$ racines $x\equiv \alpha ,$ $x\equiv \beta ,$ $x\equiv \gamma ,$ etc. ; et supposons que tous les nombres $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ etc., sont positifs et plus petits que $p$, ce qui est permis, et en outre que $\alpha$ soit le plus petit. Faisons dans la congruence proposée $x\equiv y+\alpha ,$ elle deviendra

$Ay^{m}+B'y^{m-1}+\,{\text{etc.}}\ +M'y+N'\equiv 0.$