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RECHERCHES

$y=x^{4}$	$-{\frac {1}{2}}(8,1)x^{3}+{\frac {1}{4}}\{(8,1)+2(8,3)\}x^{2}$
	$-{\frac {1}{8}}\{(8,1)+3(8,3)x\}+{\frac {1}{16}}\left\{(8,1)+(8,3)\right\}.$

$y'$ se déduit de $y$ en changeant $(8,1)$ en $(8,3)$ et réciproquement ; ainsi substituant les valeurs

$(8,1)=-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {17}}$,——$(8,3)=-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {17}},$

on a

$y=$	$x^{4}+\left({\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {17}}\right)x^{3}-\left({\frac {3}{8}}+{\frac {1}{8}}{\sqrt {17}}\right)x^{2}$
	$+\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}{\sqrt {17}}\right)x-{\frac {1}{16}},$
$y'=$	$x^{4}+\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt {17}}\right)x^{3}-\left({\frac {3}{8}}-{\frac {1}{8}}{\sqrt {17}}\right)x^{2}$
	$+\left({\frac {1}{4}}-{\frac {1}{8}}{\sqrt {17}}\right)x-{\frac {1}{16}}.$

${\sqrt {Z}}$ peut de la même manière être décomposé en quatre facteurs du second degré, qui seront

$(x-\varphi \omega )(x-\varphi 13\omega )$,	——	$(x-\varphi 9\omega )(x-\varphi 15\omega ),$
$(x-\varphi 3\omega )(x-\varphi 5\omega )$,		$(x-\varphi 10\omega )(x-\varphi 11\omega ),$

et tous les coefficiens de ces facteurs s’exprimeront au moyen des quatre périodes $(4,1),\,(4,9),\,(4,3),\,(4,10).$ Or il est évident que le produit des deux premiers facteurs est $y$, et celui des deux derniers $y'.$

Exemple II. Si, toutes choses d’ailleurs égales, $\varphi$ est supposé désigner le sinus, ensorte qu’on ait

$Z=x^{15}$	$-{\frac {17}{4}}x^{14}+{\frac {119}{16}}x^{12}-{\frac {221}{32}}x^{10}+{\frac {935}{256}}x^{8}$
	$-{\frac {561}{512}}x^{6}+{\frac {357}{2048}}x^{4}-{\frac {51}{4096}}x^{2}+{\frac {17}{65536}},$

à décomposer en facteurs du huitième degré $y$ et $y'$, $y$ sera le produit des quatre facteurs du second degré

$x^{2}-(\varphi \omega )^{2}$,—$x^{2}-(\varphi 9\omega )^{2}$, —$x^{2}-(\varphi 13\omega )^{2}$, —$x^{2}-(\varphi 15\omega )^{2}.$

Or comme on a $\varphi k\omega =-{\frac {i}{2}}[k]+{\frac {i}{2}}[n-k]$, il en résulte

$(\varphi k\omega )^{2}$	$=-{\frac {1}{4}}[2k]+{\frac {1}{2}}[n]-{\frac {1}{4}}[2n-2k]$
	$={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}[2k]-{\frac {1}{4}}[2n-2k]\,;$

de là, en désignant indéfiniment par $S_{m}$ la somme des puissances $m$ des racines $\varphi \omega ,\,\varphi 9\omega ,\,\varphi 13\omega ,\,\varphi 15\omega ,$ on tire

$S_{2}=2-{\frac {1}{4}}(8,1)$ ;		——$S_{4}={\frac {3}{2}}-{\frac {3}{16}}(8,1)$ ;
$S_{6}={\frac {5}{4}}-{\frac {9}{64}}(8,1)-{\frac {1}{64}}(8,3)$ ;		$S_{8}={\frac {35}{32}}-{\frac {27}{256}}(8,1)-{\frac {1}{32}}(8,3),$

et partant

$y=x^{8}$	$-\left\{2-{\frac {1}{4}}(8,1)\right\}x^{6}$	$+\left\{{\frac {3}{2}}-{\frac {5}{16}}(8,1)+{\frac {1}{8}}(8,3)\right\}x^{4}$
		$-\left\{{\frac {1}{2}}-{\frac {9}{64}}(8,1)+{\frac {5}{64}}(8,3)\right\}x^{2}$
		$+{\frac {1}{16}}-{\frac {5}{256}}(8,1)+{\frac {3}{256}}(8,3).$—

$y'$ se déduit de $y$ en échangeant entre eux $(8,1)$ et $(8,3)$, desorte que par la substitution des valeurs de ces périodes,