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NOTES DU TRADUCTEUR.

Note relative au n^o 162.

Nous hasardons de placer ici une solution différente du même problème, solution qui nous paraît à quelques égards plus simple que celle de l’auteur. Le principe dont nous nous servons se présentait naturellement, mais nous devons observer qu’il est employé dans l’ouvrage pour un problème analogue (n^o 285, 3^o ).

Supposons d’abord que la forme $F$ et la forme $f$ soient équivalentes.

Si l’on connaissait toutes les transformations propres de la forme $F$ en elle-même, et une transformation de $f$ en $F,$ en combinant chacune des premières avec la seconde (n^o 159), on obtiendrait évidemment des transformations semblables à cette dernière. Or il est extrêmement facile de démontrer, 1^o  que chaque combinaison donnera une transformation différente des autres ; 2^o  que toute transformation pourra naître de la combinaison d’une transformation de $F$ en elle-même avec la transformation donnée de $F$ en $f.$

Cherchons donc d’abord quels doivent être les nombres $p,$ $q,$ $r,$ $s,$ pour que la forme $F$ se change proprement en elle-même par la substitution

$x=px'+qy',\quad y=rx'+sy',$

on aura les équations

$Ap^{2}+2Bpr+Cr^{2}$	$=A$	. . . . . . . . (a),
$Apq+B(ps+qr)+Crs$	$=B$	. . . . . . . . (b),
$Aq^{2}+2Bqs+Cs^{2}$	$=C$	. . . . . . . . (c),
$ps-qr$	$=1$	. . . . . . . . (d),

Les équations (a) et (c) peuvent se mettre sous la forme

$(Ap+Br)^{2}-Dr^{2}=A^{2},\quad (Cs+Bq)^{2}-Dq^{2}=C^{2},$

ou bien, $m$ étant le plus grand commun diviseur des nombres $A,$ $2B,$ $C,$ et en divisant la première par ${\frac {A^{2}}{m^{2}}},$ la seconde par ${\frac {C^{2}}{m^{2}}},$

$\left({\frac {m(Ap+Br)}{A}}\right)^{2}-D\left({\frac {mr}{A}}\right)^{2}$	$=m^{2}$
$\left({\frac {m(Cs+Bq)}{C}}\right)^{2}-D\left({\frac {mq}{C}}\right)^{2}$	$=m^{2}$

Si l’on fait