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RECHERCHES

57. Nous nommerons avec Euler, racines primitives les nombres qui appartiennent à l’exposant $p-1$. Si donc $a$ est une racine primitive, tous les résidus minima des puissances $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, … $a^{p-1}$ seront différens d’où l’on déduit facilement qu’ils se trouvent tous parmi les nombres $1$, $2$, $3$ …$p-1$ qui sont en même nombre qu’eux, c’est-à-dire que tout nombre non divisible par $p$ est congru à quelque puissance de $a$. Cette propriété remarquable est d’une bien grande utilité, et peut considérablement abréger les opérations arithmétiques relatives aux congruences, à peu près de la même manière que l’introduction des logarithmes dans l’arithmétique ordinaire en abrège les opérations. Nous prendrons arbitrairement pour base une racine primitive $a$, à laquelle nous rapporterons tous les nombres non divisibles par $p$ ; et si on a $a^{e}\equiv b{\pmod {p}}$, nous appellerons $e$ l’indice de $b$. Par exemple, $2$ est une racine primitive suivant le module $19$ ; si on la prend pour base,

aux nombres	$1$,	$2$,	$3$,	$4$,	$5$,	$6$,	$7$,	$8$,	$9$,	$10$,	$11$,	$12$,	$13$,	$14$,	$15$,	$16$,	$17$,	$18$
répondront les indices	$0$,	$1$,	$13$,	$2$,	$16$,	$14$,	$6$,	$3$,	$8$,	$17$,	$12$,	$15$,	$5$,	$7$,	$11$,	$4$,	$10$,	$9$.

Au reste il est évident que pour la même base chaque nombre a plusieurs indices, mais qui seront tous congrus suivant le module $p-1$ ; aussi quand il sera question d’indices, ceux qui seront congrus suivant le module $p-1$, seront regardés comme équivalens, de même que les nombres sont regardés comme équivalens lorsqu’ils sont congrus suivant le module $p$.

58. Les théorèmes qui regardent les indices sont absolument analogues à ceux qui regardent les logarithmes.

L’indice d’un produit de tant de facteurs qu’on voudra, est congru à la somme des indices des différens facteurs, suivant le module $\mathrm {p-1} .$

L’indice de la puissance d’un nombre est congru, suivant le module $\mathrm {p-1} ,$ au produit de l’exposant par l’indice du nombre donné.

Nous omettons les démonstrations à cause de leur simplicité.

On voit par là que si nous voulions construire une table qui

donnât