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ARITHMÉTIQUES

61. Quoique cette méthode soit très-expéditive, quand on a les tables nécessaires, nous ne devons cependant pas oublier qu’elle est indirecte ; il sera donc utile de chercher ce que peuvent donner les méthodes directes. Nous allons exposer ici les observations que l’on peut déduire des notions précédentes ; quant à ce qui exige des considérations plus profondes, nous le réserverons pour la section VIII.

Nous commencerons par le cas le plus simple ; celui où $A=1$, c’est-à-dire, dans lequel on cherche les racines de la congruence $x^{n}\equiv 1{\pmod {p}}$. En prenant pour base une racine primitive quelconque, on doit avoir $\operatorname {Ind.} x\equiv 0{\pmod {p-1}}$. Quand $n$ est premier avec $p-1$, cette congruence n’aura qu’une seule racine, savoir $\operatorname {Ind.} x\equiv 0{\pmod {p-1}}$ ; donc, dans ce cas ${\sqrt[{n}]{1}}{\pmod {p}}$ n’aura qu’une valeur $x\equiv 1{\pmod {p}}$ ; mais quand $n$ et $p-1$ ont $\delta$ pour plus grand diviseur commun, la solution complète de la congruence $n\operatorname {Ind.} x\equiv 0{\pmod {p-1}}$ sera $x\equiv 0{\pmod {\frac {p-1}{\delta }}}$ (n^o 30), c’est-à-dire, que $\operatorname {Ind.} x$ devra être congru suivant le module $p-1$ à quelqu’un des nombres $0$, ${\frac {p-1}{\delta }}$, ${\frac {2(p-1)}{\delta }}$, …${\frac {(\delta -1)(p-1)}{\delta }}$ ou qu’il aura $\delta$ valeurs incongrues suivant le module $p-1$ ; donc aussi, dans ce cas, $x$ aura $\delta$ valeurs incongrues suivant $p$. On voit que l’expression ${\sqrt[{\delta }]{1}}{\pmod {p}}$ a aussi $\delta$ valeurs dont les indices sont absolument les mêmes que les précédens ; donc l’expression ${\sqrt[{\delta }]{1}}{\pmod {p}}$ est tout-à-fait équivalente à l’expression ${\sqrt[{n}]{1}}{\pmod {p}}$, ou ce qui revient au même, la congruence $x^{\delta }\equiv 1{\pmod {p}}$ et la congruence $x^{n}\equiv 1{\pmod {p}}$ ont les mêmes racines ; mais la première est d’un degré inférieur à moins qu’on n’ait $\delta =n$.

Ex. ${\sqrt[{15}]{1}}{\pmod {19}}$ a trois valeurs, parceque $3$ est le plus grand commun diviseur de $15$ et $18$ ; elles seront également celles de l’expression 1 ${\sqrt[{3}]{1}}{\pmod {19}}$. Ces valeurs sont $1$, $7$, $11$.

62. Cette réduction nous offre un grand avantage, puisqu’on n’a plus besoin de résoudre parmi les congruences de la forme $x^{n}\equiv 1{\pmod {p}}$