Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/70

48

RECHERCHES

premier avec $n,$ la congruence $kn\equiv 1$ pourra être résolue suivant le module ${\frac {p-1}{n}},$ et toute valeur de $k$ qui y satisfera suivant ce module, y satisfera aussi (n^o 5) suivant le module $t$ diviseur de ${\frac {p-1}{n}}$ ; donc on trouvera alors ce qu’on cherchait. Si ${\frac {p-1}{n}}$ n’est pas premier avec $n$, soit $q$ le produit des facteurs premiers de ${\frac {p-1}{n}}$ qui divisent en même temps $n\,;$ ${\frac {p-1}{nq}}\,;$ sera premier avec $n,$ et si la condition que $t$ soit premier avec $n$ a lieu, $t$ sera aussi premier avec $q,$ et comme il divise ${\frac {p-1}{n}},$ il divisera donc ${\frac {p-1}{nq}}\,;$ ainsi en résolvant la congruence $kn\equiv 1{\pmod {\frac {p-1}{nq}}},$ ce qui peut se faire puisque $n$ est premier avec ${\frac {p-1}{nq}},$ la valeur de $k$ satisfera aussi à la congruence, suivant le module $t.$ Tout l’artifice consiste à trouver un nombre qui puisse remplacer $t,$ que nous ne connaissons pas ; mais il faut se souvenir que dans le cas où ${\frac {p-1}{n}}$ n’est pas premier avec $n,$ nous avons supposé $n$ premier avec $t\,;$ et si cette condition manque, toutes les conclusions sont fausses ; c’est pourquoi, si en suivant témérairement les règles, on trouve pour $z$ une valeur dont la puissance $n$ ne soit pas congrue à $A\,;$ le résultat prouvera que cette condition n’a pas lieu, et que partant la méthode n’est pas applicable,

68. Mais dans ce cas même, il est souvent avantageux de faire cette recherche : elle offre l’avantage de faire trouver de vraies valeurs au moyen des fausses. Supposons en effet que les nombres $k$ et $z$ aient été convenablement déterminés, mais qu’on n’ait pas $z^{n}\equiv A{\pmod {p}}.$ Alors si on pouvait seulement déterminer les valeurs de ${\sqrt[{n}]{\frac {A}{z^{n}}}}{\pmod {p}}$, ces différentes valeurs étant multipliées par $z$ donneraient celles de ${\sqrt[{n}]{A}}\,:$ en effet, si $\nu$ est une valeur de ${\sqrt[{n}]{\frac {A}{z^{n}}}},$ on aura $\nu ^{n}z^{n}\equiv A\,;$ mais l’expression ${\sqrt[{n}]{\frac {A}{z^{n}}}}$ est plus simple que ${\sqrt[{n}]{A}},$ parceque le plus souvent ${\frac {A}{z^{n}}}$ appartient à un exposant moindre que $A\,;$ car si $d$ est le plus grand commun divi-

seur