Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/82

60

RECHERCHES

deux assertions sont démontrées, la vérité du théorème sera manifeste. En effet, quand $p-1$ est divisible par un quarré, quelqu’un des exposans $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc. sera $>1$, et partant un des facteurs dont le produit est congru à la somme des racines primitives, sera $\equiv 0$, c’est-à-dire que le produit lui-même le sera. Quand $p-1$ ne pourra être divisé par aucun quarré, tous les exposans $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc. seront égaux à l’unité, et la somme des racines primitives sera congrue au produit d’autant de facteurs dont chacun $\equiv -1$, qu’il y a de nombres $a$, $b$, $c$, etc. ; donc partant le produit sera $\equiv \pm 1$, suivant qu’ils seront en nombre pair ou impair ; or ces deux assertions se prouvent ainsi qu’il suit :

1^o. Quand $\alpha =1$, et que $A$ est un nombre appartenant à l’exposant $a$, les autres nombres qui appartiennent aussi à cet exposant sont $A^{2}$, $A^{3}$... $A^{a-1}$ ; or $1+A+A^{2}+A^{3}+A^{4}+...A^{a-1}$ est la somme de la période complète, et partant $\equiv 0$ (n^o 79) ; donc

$A+A^{2}+A^{3}+A^{4}+...A^{a-1}\equiv -1.$

2^o. Quand $\alpha >1$ et que $A$ est un nombre appartenant à l’exposant $a^{\alpha }$, on aura les autres nombres appartenans au même exposant, si de la suite $A^{2}$, $A^{3}$, $A^{4}$,… $A^{a^{\alpha }-1}$ on retranche $A^{a}$, $A^{2a}$, $A^{3a}$, etc. (n^o53 ), leur somme sera donc

$\equiv 1+A+A^{2}+...+A^{a^{\alpha }-1}-(1+A^{a}+A^{2a}+...+A^{a^{\alpha }-a}),$

c’est-à-dire congrue à la différence de deux périodes, et parconséquent $\equiv 0$.

82. Tout ce que nous avons exposé jusqu’à présent, suppose que le module soit un nombre premier. Il nous reste à considérer le cas où l’on prend pour module un nombre composé ; mais comme il n’en résulte pas des propriétés aussi élégantes que dans le premier cas, et qu’il n’y a pas besoin d’artifices bien délicats pour les trouver, tout se déduisant presque de la seule application des principes précédens, il serait superflu et fastidieux d’épuiser ici tous les détails. Aussi nous exposerons en peu de mots ce que ce second cas a de commun avec le premier, et ce qui lui est propre.

83. Les propositions des n^os 45—48 ont déjà été démontrées généralement, mais celle du n^o 49 doit être changée ainsi :