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ARITHMÉTIQUES.

Mais si c’est-à-dire si est divisible par ou par une plus haute puissance de toute valeur qui satisfera à la congruence suivant le module y satisfera aussi suivant le module Soit en effet on aura donc puisque , on aura aussi Soit donc on aura (no 87).

89. Tout ce que nous avons démontré (nos 57 et suivans) à l’aide du théorème du no 43, a lieu pour un module qui est une puissance d’un nombre premier, et si l’on appelle racines primitives les nombres qui appartiennent à l’exposant , c’est-à-dire ceux dans la période desquels se trouvent tous les nombres non divisibles par , il y aura également ici des racines primitives ; tout ce que nous avons dit des indices et de leur usage, ainsi que de la résolution de la congruence , peut s’appliquer à ce cas : comme toutes les démonstrations n’ont aucune difficulté, il serait superflu de les répéter. Nous avons en outre fait voir comment on déduit des racines de la congruence , celles de la congruence  ; mais il faut ajouter quelque chose sur le cas où que nous avions exclu dans ce qui précède.

90. Si l’on prend pour module une puissance de plus haute que la seconde, par exemple, la puissance de tout nombre impair sera .

Par exemple,

En effet tout nombre impair est de la forme ou de celle-ci d’où la proposition suit immédiatement (86).

Ainsi l’exposant auquel appartient un nombre impair quelconque suivant le module doit être un diviseur de  ; ce nombre appartiendra donc à l’un des suivans et d’ailleurs on jugera facilement auquel il appartient. Soit le nombre proposé et la plus haute puissance de qui puisse diviser ( est quand est impair). Alors l’exposant auquel appartient le nombre donné sera si mais si ou le nombre proposé sera et partant appartiendra à l’exposant ou à l’exposant En effet et ce nombre élevé à la puissance devient congru à l’unité suivant le mo-

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