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Nous obtenons ainsi

{\frac {d\mathrm {S} }{dr}}={\frac {1}{\rho }}.(\mathrm {X} \xi '+\mathrm {Y} \eta '+\mathrm {Z} \zeta ').{\frac {dv}{d\varphi }}={\frac {1}{\rho }}.\cos \mathrm {L} \lambda .{\frac {dv}{d\varphi }}=0,

puisque $\lambda '$ est situé sur le grand cercle dont le pôle est $\mathrm {L}$ . De là nous concluons que $\mathrm {S}$ est indépendant de $r,$ et, par conséquent, fonction seulement de $\varphi$ ; mais pour $r=0,$ il est évident qu’on a $v=0,$ par conséquent aussi ${\frac {dv}{d\varphi }},$ et $\mathrm {S} =0$ indépendamment de $\varphi$ . Ainsi, nécessairement, on devra avoir généralement $\mathrm {S} =0,$ et aussi $\cos \lambda \lambda '=0,$ c’est-à-dire $\lambda \lambda '=90^{\circ }.$ De là nous tirons :

Théorème. — Si l’on mène sur une surface courbe d’un même point initial une multitude de lignes de plus courte distance de même longueur, la ligne qui joindra leurs extrémités sera normale à chacune d’elles.

Nous avons tenu à déduire ce théorème de la propriété fondamentale des lignes de plus courte distance. Du reste, on peut se convaincre de sa vérité, sans aucun calcul, par le raisonnement suivant : Soient $\mathrm {AB} ,$ $\mathrm {AB'}$ deux lignes de plus courte distance de même longueur, comprenant en $\mathrm {A}$ un angle infiniment petit ; et supposons que l’un des angles de l’élément $\mathrm {BB'}$ avec les lignes $\mathrm {BA}$ , $\mathrm {BA'}$ diffère d’une quantité finie de l’angle droit, d’où, par la loi de la continuité, l’un sera plus grand, l’autre moindre que l’angle droit. Supposons que l’angle en $\mathrm {B} =90^{\circ }-\omega ,$ et prenons sur la ligne $\mathrm {AB}$ un point $\mathrm {C}$ , tel qu’on ait