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C.-F. GAUSS

et de même les deux intégrales de l’équation

$\Omega =d\mathrm {T} ^{2}+d\mathrm {U} ^{2}=0$

sont les suivantes :

$\mathrm {T} +i\mathrm {U} =\ {\text{Const.}},\qquad \mathrm {T} -i\mathrm {U} =\ {\text{Const.}},$

Les deux solutions générales du problème sont par conséquent

(I)

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {T} +i\mathrm {U} =&f(t+iu),\qquad &\mathrm {T} -i\mathrm {U} =&f_{1}(t-iu),\end{alignedat}}$

(II)

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {T} +i\mathrm {U} =&f(t-iu),\qquad &\mathrm {T} -i\mathrm {U} =&f_{1}(t+iu).\end{alignedat}}$

Ce résultat peut aussi s’exprimer comme il suit : La lettre $f$ désignant une fonction quelconque, l’on devra prendre pour $\mathrm {X}$ la partie réelle de $f(x+iy),$ et soit pour $\mathrm {Y}$ soit pour $\mathrm {-Y}$ la partie imaginaire [après suppression du facteur $i$].

Si l’on emploie les lettres $\varphi ,\ \varphi _{1}$ dans le sens expliqué à l’Article VII, et si l’on pose

$\varphi (x+y)=\xi +i\eta ,\qquad \varphi _{1}(x-y)=\xi -i\eta ,$

où $\xi$ et $\eta$ sont évidemment des fonctions réelles de $x$ et $y,$ on aura pour la première solution

${\begin{alignedat}{2}&d\mathrm {X} +id\mathrm {Y} &&=&&(\xi +i\eta )(dx+idy),\\&d\mathrm {X} +id\mathrm {Y} &&=&&(\xi +i\eta )(dx+idy),\\\end{alignedat}}$

et par suite

${\begin{alignedat}{2}&d\mathrm {X} &&=&&\xi dx-\eta dy,\\&d\mathrm {Y} &&=&&\eta dx+\xi dy,\end{alignedat}}$

Si l’on fait maintenant

${\begin{alignedat}{3}\xi =&\sigma \cos \gamma ,\qquad &\eta =&\sigma \sin \gamma ,\\dx=&ds\cos g,&dy=&ds\sin g,\\d\mathrm {X} =&d\mathrm {S} \cos \mathrm {G} ,&d\mathrm {Y} =&d\mathrm {S} \sin \mathrm {G} ,\end{alignedat}}$