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C.-F. GAUSS

et que

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u(\cos t+i\sin t)={\frac {\sin u\cos t+i\sin u\sin t}{1+\cos u}}={\frac {x+iy}{a+z}},$

la solution générale pourra aussi être représentée par

$\mathrm {X} +i\mathrm {Y} =f\left({\frac {x+iy}{a+z}}\right),\qquad \mathrm {X} -i\mathrm {Y} =f_{1}\left({\frac {x-iy}{a+z}}\right)\ ;$

c’est à dire que $\mathrm {X}$ devra être posé égal à la partie réelle, et $i\mathrm {Y}$ à la partie imaginaire de $f\left({\frac {x+iy}{a+z}}\right),\ f$ désignant une fonction arbitraire. Au lieu de $f\left({\frac {x+iy}{a+z}}\right)$ on reconnaît aisément que l’on peut encore prendre une fonction arbitraire de ${\frac {x+iz}{a+x}}$ ou bien de ${\frac {z+ix}{a+y}}.$

XII

Quatrièmement, considérons la représentation de la surface de l’ellipsoïde de révolution sur le plan. Soient $a$ et $b$ les deux demi-axes principaux de l’ellipsoïde en sorte que l’on peut poser

${\begin{alignedat}{2}&x&&=a\cos t\sin u,\\&y&&=a\sin t\sin u,\\&z&&=b\cos u,\end{alignedat}}$

On aura par conséquent ici

$\omega =a^{2}\sin ^{2}udt^{2}+\left(a^{2}\cos ^{2}u+b^{2}\sin ^{2}u\right)du^{2},$

et la formule différentielle ω = o, si l’on pose pour abréger ${\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}=\varepsilon$ [avec le demi-axe de révolution $b<a$], donne

$0=dt\mp idu{\sqrt {\operatorname {cotang} ^{2}u+1-\varepsilon ^{2}}}.$