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REPRÉSENTATION CONFORME

approximativement pour $90^{\circ }-\mathrm {W}$ la latitude moyenne, et de là tirer $k.$ La relation générale entre $\mathrm {U}$ et $w$ est alors donnée par la formule

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {U} =\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}w\left[{\frac {(1-\varepsilon \cos \mathrm {W} )(1+\varepsilon \cos w)}{(1+\varepsilon \cos \mathrm {W} )(1-\varepsilon \cos w)}}\right]^{{\frac {1}{2}}\varepsilon }.$

Pour les calculs numériques effectifs il est toutefois plus avantageux d’employer des séries, auxquelles on peut donner plusieurs formes, sur le développement desquelles nous ne nous arrêterons pas ici.

D’ailleurs, comme l’on voit aisément que, pour $w<\mathrm {W} ,\ \mathrm {U} >w,$ on voit que, par conséquent, $\cos \mathrm {W} -\cos w$ et par suite aussi ${\frac {dm}{dw}}$ est négatif ; pour $w>\mathrm {W} ,$ on a $\mathrm {U} <w,$ et par suite ${\frac {dm}{dw}}$ est alors positif ; il est donc clair que pour $w=\mathrm {U} =\mathrm {W} ,$ la valeur de $m$ sera toujours un minimum qui, du reste,

$={\frac {\mathrm {A} }{a}}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}\mathrm {W} }}.$

Par conséquent si l’on choisit pour le rayon de la sphère

$\mathrm {A} ={\frac {a}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}\mathrm {W} }}},$

la représentation des parties infiniment petites de l’ellipsoïde pour la latitude $90^{\circ }-\mathrm {W}$ est non seulement semblable à l’original mais encore lui est égale ; mais pour d’autres latitudes elle est plus grande.

On peut avantageusement développer le logarithme de $m$ en une série procédant suivant les puissances de $\cos \mathrm {U} -\cos \mathrm {W} ,$ et dont les premiers termes, qui suffisent dans la pratique,