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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.

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Supposons enfin, que nous connaissions les trois rayons vecteurs $r$, $r',$ $r''$ qui font, avec la droite menée arbitrairement par le Soleil dans le plan de l’orbite, les angles $\mathrm {N} ,$ $\mathrm {N} ',$ $\mathrm {N} ''.$ Nous aurons alors, en conservant les mêmes notations, les équations (I) :

${\begin{aligned}{\frac {p}{r}}&=1+e\cos(\mathrm {N} -\Pi ),\\{\frac {p}{r'}}&=1+e\cos(\mathrm {N} '-\Pi ),\\{\frac {p}{r''}}&=1+e\cos(\mathrm {N} ''-\Pi ),\end{aligned}}$

qui permettront d’obtenir $p$, $\Pi$, $e$ de plusieurs manières. Si l’on veut calculer la quantité $p$ avant les autres, on doit multiplier les trois équations (I) respectivement par $\sin(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} '),$ $-\sin(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ),$ $\sin(\mathrm {N} '-\mathrm {N} ),$ et l’on aura, d’après le lemme 1, art. 78, en ajoutant les produits,

$p={\frac {\sin(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ')-\sin(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} )+\sin(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )}{{\dfrac {1}{r}}\sin(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ')-{\dfrac {1}{r'}}\sin(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} )+{\dfrac {1}{r''}}\sin(\mathrm {N} '-\mathrm {N} )}}$.

Cette expression mérite d’être considérée plus attentivement. Le numérateur devient évidemment,

${\begin{aligned}2\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} ''&-\mathrm {N} ')\cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ')\\&\quad -2\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ')\cos \left({\frac {1}{2}}\mathrm {N} ''+{\frac {1}{2}}\mathrm {N} '-\mathrm {N} \right)\\&=4\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ')\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} )\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} ).\end{aligned}}$

En posant, ensuite,

${\begin{alignedat}{5}r'r''&\sin(\mathrm {N} ''&{}-{}&\mathrm {N} ')&{}={}&n,\\rr''&\sin(\mathrm {N} ''&{}-{}&\mathrm {N} )&{}={}&n',\\rr'&\sin(\mathrm {N} '&{}-{}&\mathrm {N} )&{}={}&n'',\end{alignedat}}$

il est évident que ${\frac {1}{2}}n$, ${\frac {1}{2}}n'$, ${\frac {1}{2}}n''$ sont les aires des triangles compris entre le second rayon vecteur et le troisième, entre le premier et le troisième, entre le premier et le second. De là on apercevra facilement, dans la nouvelle formule

$p={\frac {4\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} ')\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} ''-\mathrm {N} )\sin {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} '-\mathrm {N} ).rr'r''}{n-n'+n''}}$