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LIVRE II, SECTION I.

tion par des méthodes toujours sûres et promptes que je crois devoir expliquer ici avant d’aller plus loin.

Si pour $x$ et $y,$ on a pris les véritables valeurs elles-mêmes, on satisfera immédiatement d’une manière exacte aux équations $\mathrm {X} =0,$ $\mathrm {Y} =0\,;$ si au contraire, à la place de $x$ et $y$ on substitue des valeurs différentes des véritables, les valeurs de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ qui s’en déduiront seront différentes de zéro. Mais, plus $x$ et $y$ approcheront près des véritables valeurs, plus les valeurs de $\mathrm {X} ,$ $\mathrm {Y}$ devront aussi être moindres ; et lorsque leurs différences avec les valeurs exactes seront très-petites, on pourra supposer que les variations des valeurs de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ sont à peu près proportionnelles aux variations de $x,$ si $y$ ne change pas, ou aux variations de $y,$ si $x$ ne change pas. C’est pourquoi, si les valeurs de $x$ et $y$ sont respectivement désignées par $\xi ,$ $\eta ,$ les valeurs de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} ,$ correspondant à l’hypothèse $x=\xi +\lambda ,$ $y=\eta +\mu ,$ se présenteront sous la forme $\mathrm {X} =\alpha \lambda +\beta \mu ,$ $\mathrm {Y} =\lambda \gamma +\delta \mu ,$ dans lesquelles les coefficients $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ $\delta$ peuvent être considérés comme constants, tant que $\lambda$ et $\mu$ restent très-petits. De là on conclut, que si pour trois systèmes de valeurs de $x$ et $y,$ peu différentes des véritables, les valeurs correspondantes de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ ont été déterminées, les vraies valeurs de $x$ et $y$ pourront s’en déduire, en tant qu’il soit réellement permis d’admettre l’hypothèse ci-dessus.

Admettons que

pour 	$x=a,$	$y=b$	on ait 	$\mathrm {X} =\mathrm {A} ,$	$\mathrm {Y} =\mathrm {B} ,$
	$x=a',$	$y=b'$		$\mathrm {X} =\mathrm {A} ',$	$\mathrm {Y} =\mathrm {B} ',$
	$x=a'',$	$y=b''$		$\mathrm {X} =\mathrm {A} '',$	$\mathrm {Y} =\mathrm {B} '',$

et nous aurons

${\begin{alignedat}{4}\mathrm {A} &=\alpha (a-\xi )&{}+{}&\beta (b-\eta ),&\qquad \mathrm {B} &=\gamma (a-\xi )&{}+{}&\delta (b-\eta ),\\\mathrm {A} '&=\alpha (a'-\xi )&{}+{}&\beta (b'-\eta ),&\qquad \mathrm {B} '&=\gamma (a'-\xi )&{}+{}&\delta (b'-\eta ),\\\mathrm {A} ''&=\alpha (a''-\xi )&{}+{}&\beta (b''-\eta ),&\qquad \mathrm {B} ''&=\gamma (a''-\xi )&{}+{}&\delta (b''-\eta ),\end{alignedat}}$

De là on a, $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma$ et $\delta$ étant éliminés,

${\begin{aligned}\xi &={\frac {a(\mathrm {A'B} ''-\mathrm {A''B} ')+a'(\mathrm {A''B} -\mathrm {AB} '')+a''(\mathrm {AB} '-\mathrm {A'B} )}{\mathrm {A'B} ''-\mathrm {A''B} '+\mathrm {A''B} -\mathrm {AB} ''+\mathrm {AB} '-\mathrm {A'B} }}\\[0.75ex]\eta &={\frac {b(\mathrm {A'B} ''-\mathrm {A''B} ')+b'(\mathrm {A''B} -\mathrm {AB} '')+b''(\mathrm {AB} '-\mathrm {A'B} )}{\mathrm {A'B} ''-\mathrm {A''B} '+\mathrm {A''B} -\mathrm {AB} ''+\mathrm {AB} '-\mathrm {A'B} }}\end{aligned}}$

ou, sous une forme plus commode pour le calcul,