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LIVRE II, SECTION I.

quantité du second ordre seulement. Et même, toutes les fois que l’orbite de l’ellipse est peu excentrique, de manière que l’excentricité puisse être considérée comme une quantité du premier ordre, la différence de ${\frac {rr''}{r'^{2}}}$ avec l’unité pourra être rapportée à un ordre encore plus élevé d’un degré. Il est donc évident que cette erreur reste du même ordre qu’auparavant si, dans notre équation, on substitue ${\frac {\theta \theta ''}{2r'^{3}}}$ à la place de ${\frac {\theta \theta ''}{2rr'r''}}\,;$ on obtient de là, la forme suivante,

$a\delta '=b+{\frac {c\theta +d\theta ''}{\theta '}}\left(1+{\frac {\theta \theta ''}{2r'^{3}}}\right).$

Cette équation contient encore, par le fait, la quantité inconnue $r',$ qui néanmoins, peut évidemment être éliminée, puisqu’elle dépend seulement de $\delta '$ et de quantités connues. Si l’équation était ensuite ordonnée convenablement, elle monterait jusqu’au huitième degré.

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D’après ce qui précède, on comprendra maintenant le motif pour lequel, dans notre méthode, nous allons prendre pour $x$ et $y,$ respectivement, les quantités

${\frac {n''}{n}}=\mathrm {P} ,$ et $2\left({\frac {n+n''}{n'}}-1\right)r'^{2}=\mathrm {Q} .$

Car, premièrement, il est évident que si $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ sont considérées comme des quantités connues, on pourra en déduire $\delta '$ au moyen de l’équation

$a\delta '=b+{\frac {c+d\mathrm {P} }{1+\mathrm {P} }}\left(1+{\frac {\mathrm {Q} }{2r'^{3}}}\right),$

et après cela, $\delta$ et $\delta ''$ par les équations 4 et 6 de l’art. 114, puisqu’on a

${\frac {n}{n'}}={\frac {1}{1+\mathrm {P} }}\left(1+{\frac {\mathrm {Q} }{2r'^{3}}}\right),\qquad {\frac {n''}{n'}}={\frac {\mathrm {P} }{1+\mathrm {P} }}\left(1+{\frac {\mathrm {Q} }{2r'^{3}}}\right).$

Secondement, il est évident que, dans une première hypothèse, à la place des quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ dont les valeurs exactes sont

${\frac {\theta ''}{\theta }}.{\frac {\eta }{\eta ''}},\qquad {\frac {r'^{2}\theta \theta ''}{rr''\eta \eta ''\cos f\cos f'\cos f''}},$