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DÉTERMINATION DE L’ORBITE D’APRÈS TROIS OBSERVATIONS COMPLÈTES.

Il est de plus évident que la situation du point $\mathrm {B} ^{\star }$ resterait indéterminée si les cercles $\mathrm {BB} ''\!,$ $\mathrm {A'B} '$ coïncidaient entièrement ; nous excluons de notre recherche ce cas où les quatre points $\mathrm {A} '\!,$ $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {B} '\!,$ $\mathrm {B} ''$ se trouveraient dans le même grand cercle. Mais il sera convenable d’éviter aussi, dans le choix des observations, ce cas où le lieu de ces quatre points est peu différent d’un grand cercle ; alors, en effet, la position du point $\mathrm {B} ^{\star },$ qui, dans les opérations suivantes, est d’une grande importance, serait trop affectée par les plus petites erreurs d’observation, et ne pourrait être déterminée avec la précision nécessaire. De même, il est évident que le point $\mathrm {B} ^{\star }$ reste indéterminé toutes les fois que les points $\mathrm {B,\,B} ''$ se confondent en un seul^[1], cas dans lequel la position du cercle $\mathrm {BB} ''$ lui-même deviendrait indéterminée. C’est pourquoi nous excluons aussi ce cas ; de même, par des raisons semblables aux précédentes, on devra aussi éviter les observations dans lesquelles le premier lieu géocentrique et le dernier tombent en des points de la sphère voisins l’un de l’autre.

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Soient $\mathrm {C,\,C'\!,\,C} ''$ les trois positions héliocentriques de l’astre dans la sphère céleste, positions qui se trouveront, respectivement, dans les grands cercles $\mathrm {AB} ,$ $\mathrm {A'B} '\!,$ $\mathrm {A''B} ''\!,$ et même entre $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {A} '$ et $\mathrm {B} '\!,$ $\mathrm {A} ''$ et $\mathrm {B} ''$ (art. 64, III) ; les points $\mathrm {C} ,$ $\mathrm {C} '\!,$ $\mathrm {C} ''$ se trouveront en outre dans le même grand cercle, c’est-à-dire dans celui qui est la projection de l’orbite sur la sphère céleste. Nous désignerons par $r,$ $r'\!,$ $r''$ les trois distances de l’astre au Soleil ; par $\rho ,$ $\rho '\!,$ $\rho ''$ ses distances à la Terre ; par $\mathrm {R} ,$ $\mathrm {R} '\!,$ $\mathrm {R} ''$ les distances de la Terre au Soleil. Posons ensuite les arcs $\mathrm {C'C} ''\!,$ $\mathrm {CC} ''\!,$ $\mathrm {CC} '\!,$ respectivement égaux à $2f,$ $2f'\!,$ $2f''\!,$ et

${\begin{aligned}r'r''\sin 2f&=n&rr''\sin 2f'&=n'&rr'\sin 2f''&=n''\end{aligned}}.$

Nous avons donc

$f'\!=f\!+\!f''\!,\;\;\;\mathrm {AC} +\mathrm {CB} =\delta ,\;\;\;\mathrm {A'C} '\!+\mathrm {C'B} '\!=\delta '\!,\;\;\;\mathrm {A''C} ''\!+\mathrm {C''B} ''\!=\delta '';$

et aussi,

${\frac {\sin \delta }{r}}={\frac {\sin \mathrm {AC} }{\rho }}={\frac {\sin \mathrm {CB} }{\mathrm {R} }}$

1. Ou aussi toutes les fois qu’ils sont diamétralement opposés ; mais nous ne parlerons pas de ce cas, puisque notre méthode ne doit pas être étendue à des observations embrassant un si grand intervalle.