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LIVRE II, SECTION II.

(Problème pour faire tenir les équations, voir la page de discussion)

IX.

$\left[{\begin{aligned}\rho \cos \beta &=-\mathrm {R} \cos \mathrm {B} \cos(\alpha -l)\\+&{\frac {1+\mathrm {P} '}{\mathrm {P} '\!\left(\!1+{\dfrac {\mathrm {Q} '}{r'^{3}}}\!\right)}}\left[\rho '\cos \beta '\cos(\alpha '\!\!-\!\alpha )+\mathrm {R} '\cos \mathrm {B} '\cos(l'\!\!-\!\alpha )\right]\\-&{\frac {1}{\mathrm {P} '}}\left[\rho ''\cos \beta ''\cos(\alpha ''\!\!-\!\alpha )+\mathrm {R} ''\cos \mathrm {B} ''\cos(l''\!\!-\!\alpha )\right],\end{aligned}}\right.$

X.

$\left[{\begin{aligned}\rho \sin \beta =-\mathrm {R} \sin \mathrm {B} &+{\frac {1+\mathrm {P} '}{\mathrm {P} '\left(1+{\dfrac {\mathrm {Q} '}{r'^{3}}}\right)}}\left(\rho '\sin \beta '\!+\mathrm {R} '\sin \mathrm {B} '\right)\\&-{\frac {1}{\mathrm {P} '}}\left(\rho ''\sin \beta ''\!+\mathrm {R} ''\sin \mathrm {B} ''\right),\end{aligned}}\right.$

XI.

$\left[{\begin{aligned}&\rho '''\cos \beta '''=-\mathrm {R} '''\cos \mathrm {B} '''\cos(\alpha '''\!\!-\!l''')\\&\!+{\frac {1+\mathrm {P} ''}{\mathrm {P} ''\!\left(\!1\!+\!{\dfrac {\mathrm {Q} ''}{r''^{3}}}\!\right)}}\left[\rho ''\cos \beta ''\cos(\alpha '''\!\!-\!\alpha '')+\mathrm {R} ''\cos \mathrm {B} ''\cos(\alpha '''\!\!-\!l'')\right]\\&\!-{\frac {1}{\mathrm {P} ''}}\left[\rho '\cos \beta '\cos(\alpha '''\!\!-\!\alpha ')+\mathrm {R} '\cos \mathrm {B} '\cos(\alpha '''\!\!-\!l')\right],\end{aligned}}\right.$

XII.

$\left[{\begin{aligned}\rho '''\sin \beta '''=-\mathrm {R} '''\sin \mathrm {B} '''&+{\frac {1+\mathrm {P} ''}{\mathrm {P} ''\!\left(\!1\!+\!{\dfrac {\mathrm {Q} ''}{r''^{3}}}\!\right)}}\left(\rho ''\sin \beta ''\!+\mathrm {R} ''\sin \mathrm {B} ''\right)\\&-{\frac {1}{\mathrm {P} ''}}\left(\rho '\sin \beta '\!+\mathrm {R} '\sin \mathrm {B} '\right).\end{aligned}}\right.$

Les formules IX-XII se déduisent sans difficulté des équations 1, 2, 3, art. 112, pourvu que les symboles employés dans ces équations soient convenablement remplacés par ceux dont nous nous servons ici. Il est évident que les formules deviendront beaucoup plus simples, si $\mathrm {B,\,B',\,B} ''$ s’évanouissent. Par la combinaison des formules IX et X, on obtiendra non-seulement $\rho$ mais aussi $\beta ,$ et de la même manière, non-seulement $\rho '''$ mais aussi$\beta ''',$ au moyen des équations XI et XII : les valeurs de ces latitudes comparées à celles fournies par l’observation (qui n’entrent pas dans le calcul), si elles sont données, montreront avec quel degré de précision les latitudes extrêmes peuvent être représentées au moyen des éléments qui s’adaptent aux six autres données.

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Un exemple convenable pour éclaircir cette recherche s’obtient d’après Vesta, qui, parmi toutes les planètes récemment décou-