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LIVRE II, SECTION III.

si à $p$ on substitue la valeur

${\frac {1}{\mu }}(\mathrm {M+M'\!+M''} +{\text{etc.}}),$

quelle que soit la valeur entière positive que $\mu$ exprime.

En supposant donc

$\mathrm {M'} =\mathrm {M''} =\dots \,{\text{etc}}.=\mathrm {M} -\mu \mathrm {N} ,$

on aura généralement, c’est-à-dire pour toute valeur entière positive de $\mu ,$

$\varphi '(\mu -1)\mathrm {N} =(1-\mu )\varphi '(-\mathrm {N} ),$

d’où l’on déduit facilement que ${\frac {\varphi '\Delta }{\Delta }}$ doit être une quantité constante, que nous désignerons par $k.$ De là nous avons

$\log \varphi \Delta ={\frac {1}{2}}k\Delta ^{2}+{\text{constante}},$

ou

$\varphi \Delta =\varkappa e^{{\frac {1}{2}}k\Delta ^{2}}$

en désignant par $e$ la base des logarithmes hyperboliques, et en supposant la constante égale à $\log \varkappa .$

De plus, on voit facilement que $k$ doit nécessairement être négatif pour que $\Omega$ puisse réellement devenir maximum ; posons donc

${\frac {1}{2}}k=-h^{2}\,;$

et puisque, par un élégant théorème découvert par l’illustre Laplace, l’intégrale

$\int e^{-h^{2}\Delta ^{2}}d\Delta$

prise depuis $\Delta =-\infty$ jusqu’à $\Delta =+\infty$ est ${\frac {\sqrt {\pi }}{h}},$ (en désignant par $\pi$ la demi-circonférence du cercle dont le rayon est l’unité), notre fonction devient

$\varphi \Delta ={\frac {h}{\sqrt {\pi }}}e^{-h^{2}\Delta ^{2}}.$