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LIVRE II, SECTION III.

$r$	$=\mathrm {L''}$	$+\,\mathrm {A''P}$	$+\,\mathrm {B''Q}$	$+\,\mathrm {C''R}$	$+\,\mathrm {D''S}$	$+\,\dots \,{\text{etc.}}$
$s$	$=\mathrm {L'''}$	$+\,\mathrm {A'''P}$	$+\,\mathrm {B'''Q}$	$+\,\mathrm {C'''R}$	$+\,\mathrm {D'''S}$	$+\,\dots \,{\text{etc.}}$

Ceci étant fait, les valeurs les plus probables de $p,$ $q,$ $r,$ $s,\ldots$ etc., seront évidemment $\mathrm {L} ,$ $\mathrm {L} ',$ $\mathrm {L} '',$ $\mathrm {L} ''',\ldots$ etc., respectivement, et la mesure de la précision à attribuer à ces déterminations sera exprimée respectivement par

${\frac {1}{\sqrt {\mathrm {A} }}},$${\frac {1}{\sqrt {\mathrm {B} '}}},$${\frac {1}{\sqrt {\mathrm {C} ''}}},$${\frac {1}{\sqrt {\mathrm {D} '''}}},\;\dots \mathrm {etc.} ,$

en supposant que la précision des observations primitives soit égale à l’unité. Ce que nous avons démontré précédemment, relativement à l’inconnue $s$ ${\Big (}$pour laquelle $\mathrm {D} '''$ répond à ${\frac {1}{\delta '''}}{\Big )},$ peut être appliqué à toutes les autres par une simple permutation des quantités inconnues.

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Pour éclaircir par un exemple les recherches précédentes, supposons que, par des observations dans lesquelles la précision est supposée la même, on ait trouvé

${\begin{alignedat}{4}p&{}-{}&q&{}+{}&2r&{}=&{}3&\\3p&{}+{}&2q&{}-{}&5r&{}=&{}5&\\4p&{}+{}&q&{}+{}&4r&{}=&{}21&,\end{alignedat}}$

mais que par une quatrième observation, à laquelle on doit attribuer une précision de moitié moins grande, on ait trouvé

$-2p+6q+6r=28.$

Nous substituerons à la place de cette dernière équation, la suivante :

$-p+3q+3r=14,$

et nous supposerons que celle-ci provient d’une observation jouissant d’une précision égale aux premières. De là nous avons

${\begin{alignedat}{11}\mathrm {P} &={}&27p&{}+&{}6q&{}{}&&{}-{}&88,&\\\mathrm {Q} &={}&6p&{}+&{}15q&{}+{}&r&{}-{}&70,&\\\mathrm {R} &={}&&{}&{}q&{}+{}&54r&{}-{}&107,&\end{alignedat}}$

et de là, par élimination,