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NOTE VI.

d’où, par différentiation,

${\begin{aligned}d{\text{☊′}}&=d\varepsilon {\frac {\sin {\text{☊ }}}{\operatorname {tang} i'}}+\left({\frac {\sin i\cos({\text{☊ }}-n)-\sin {\text{☊′}}\cos i'\sin \varepsilon \sin {\text{☊′}}}{\cos {\text{☊′}}\sin i'}}\right)d({\text{☊ }}-n)\\&={\frac {d\varepsilon .\sin {\text{☊ }}}{\operatorname {tang} i'}}+{\frac {\sin i}{\sin i'}}\!\left({\frac {\cos({\text{☊ }}-n)-\sin {\text{☊′}}\cos i'{\dfrac {\sin \varepsilon }{\sin i}}\sin {\text{☊′}}}{\cos {\text{☊′}}}}\right)d({\text{☊ }}-n)\end{aligned}}$

mais

${\frac {\sin \varepsilon }{\sin i}}={\frac {\sin \Delta }{\sin {\text{☊′}}}}$

et le même triangle donne

$\cos({\text{☊ }}-n)-\sin \Delta \sin {\text{☊′}}\cos i'=\cos \Delta \cos {\text{☊′}}\,;$

il vient donc, par substitution,

$d{\text{☊′}}={\frac {\sin {\text{☊′}}}{\operatorname {tang} i'}}\,d\varepsilon +{\frac {\sin i\cos \Delta }{\sin i'}}\,d({\text{☊ }}-n)$

qui est la seconde équation.

Pour trouver la troisième, on a

$\sin \Delta \sin i=\sin \varepsilon \sin {\text{☊′}},$

d’où, en différentiant,

$d\Delta =d\varepsilon \,{\frac {\sin {\text{☊′}}}{\sin i\cos \Delta }}\left({\frac {\cos i'\cos {\text{☊′}}\sin \varepsilon +\cos \varepsilon \sin i'}{\sin i'}}\right)$$+{\frac {\sin \varepsilon \cos {\text{☊′}}}{\sin i'}}\,d({\text{☊ }}-n),$

mais

$\cos i'\cos {\text{☊′}}\sin \varepsilon +\cos \varepsilon \sin i'=\sin i\cos \Delta ,$

car on a la relation

$\operatorname {cotang} i'\sin \varepsilon +\cos \varepsilon \cos {\text{☊′}}=\sin {\text{☊′}}\operatorname {cotang} ({\text{☊ }}-n)$

qui devient, à cause de l’égalité

${\begin{aligned}&{\frac {\sin i}{\sin i'}}={\frac {\sin {\text{☊′}}}{\sin({\text{☊ }}-n)}}\\\cos i'\sin \varepsilon +&\sin i'\cos \varepsilon \cos {\text{☊′}}=\sin i\cos({\text{☊ }}-n)\end{aligned}}$

ou, en multipliant par $\cos {\text{☊′}},$

$\cos i'\sin \varepsilon \cos {\text{☊′}}+\sin i'\cos \varepsilon \cos ^{2}{\text{☊′}}=\sin i\cos {\text{☊′}}\cos({\text{☊ }}-n)$