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NOTES DU TRADUCTEUR.

Remarquons maintenant, qu’on a aussi

$k=a_{1}\mathrm {M} ={\frac {a_{1}d_{1}\sin b'}{\sin(b'\!-b)}}={\frac {\mathrm {R} \sin(\Theta '\!-\Theta )\sin b'}{\sin(b'\!-b)}}$

il vient alors, en introduisant cette valeur dans l’équation (1),

${\begin{aligned}\rho ''={\frac {\cos b''.\sin(b'\!-b)}{\sin(\Theta '\!-\alpha '')\sin(b''\!-b')}}&\left({\frac {r''\sin(v''\!-v)\rho \sin(\Theta '\!-\alpha )}{r\sin(v'\!-v)\cos b}}\right.\\&+\left.{\frac {\mathrm {R} \sin(\Theta '\!-\Theta )\sin b'}{\sin(b'\!-b)}}.\mathrm {U} \right),\end{aligned}}$

équation que nous pouvons mettre sous la forme

${\begin{aligned}\rho ''={\frac {t''}{t'}}.{\frac {\cos b''}{\cos b}}&.{\frac {\sin(b'\!-b)}{\sin(b''\!-b')}}.{\frac {\sin(\Theta '\!-\alpha )}{\sin(\Theta '\!-\alpha '')}}\left({\frac {r''\sin(v''\!-v)}{r\sin(v'\!-v)}}\,\rho .{\frac {t'}{t''}}\right.\\&+\left.{\frac {t'}{t''}}.{\frac {\mathrm {R} \sin(\Theta '\!-\Theta )\sin b'\cos b}{\rho \sin(\Theta '\!-\alpha )\sin(b'\!-b)}}\mathrm {U} \right).\end{aligned}}$

En la divisant par $\rho$ nous avons,

${\begin{aligned}\mathrm {M} '={\frac {t''}{t'}}.{\frac {\cos b''}{\cos b}}&.{\frac {\sin(b'\!-b)}{\sin(b''\!-b')}}.{\frac {\sin(\Theta '\!-\alpha )}{\sin(\Theta '\!-\alpha '')}}\left({\frac {r''\sin(v''\!-v)}{r\sin(v'\!-v)}}.{\frac {t'}{t''}}\right.\\&+\left.{\frac {t'}{t''}}.{\frac {\mathrm {R} \sin(\Theta '\!-\Theta )\sin b'\cos b}{\rho \sin(\Theta '\!-\alpha )\sin(b'\!-b)}}\mathrm {U} \right).\end{aligned}}$

Mais nous avions pris pour $\mathrm {M}$ la valeur

$\mathrm {M} ={\frac {t''}{t'}}.{\frac {\cos b''}{\cos b}}.{\frac {\sin(b'\!-b)}{\sin(b''\!-b')}}.{\frac {\sin(\Theta '\!-\alpha )}{\sin(\Theta '\!-\alpha '')}},$

on a donc,

${\frac {\mathrm {M} '}{\mathrm {M\,} }}={\frac {r''\sin(v''\!-v)}{r\sin(v'\!-v)}}.{\frac {t'}{t''}}+{\frac {\mathrm {R} \sin(\Theta '\!-\Theta ).\sin b'\cos b\,\mathrm {U} }{\sin(\Theta '\!-\alpha )\sin(b'\!-b)}}.{\frac {t'}{t''.\rho }},$

ou, en remarquant que

${\frac {\sin(b'\!-b)}{\cos b'\cos b}}=\operatorname {tang} b'-\operatorname {tang} b,$et$\operatorname {tang} b\sin(\Theta '\!-\alpha )=\operatorname {tang} \beta ,$

il vient enfin,

${\frac {\mathrm {M} '}{\mathrm {M\,} }}={\frac {r''\sin(v''\!-v)}{r\sin(v'\!-v)}}.{\frac {t'}{t''}}+{\frac {\mathrm {R} \sin(\Theta '\!-\Theta ).\operatorname {tang} b'.\mathrm {U} }{\operatorname {tang} b'\sin(\Theta '\!-\alpha )-\operatorname {tang} \beta }}.{\frac {t'}{t''.\rho }},$

Pour calculer ce rapport ${\frac {\mathrm {M} '}{\mathrm {M\,} }}=\mathrm {H} ,$ on se servira des valeurs $r,\,r''$ et $\rho$ trouvées d’après les éléments fournis par la méthode donnée précédemment.