Page:Gauss - Théorie du mouvement des corps célestes, traduction Dubois, 1864.djvu/82

63

RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ESPACE.

Les formules suivantes se déduisent facilement en combinant les premières :

V.	$\sin(u-\lambda +{\text{☊ }})={}$	$2\sin ^{2}{\frac {1}{2}}i\,\sin u\cos(\lambda -{\text{☊ }})$
VI.	$\sin(u-\lambda +{\text{☊ }})={}$	$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}i\,\sin \beta \cos(\lambda -{\text{☊ }})$
VII.	$\sin(u-\lambda +{\text{☊ }})={}$	$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}i\,\operatorname {tang} \beta \cos u$
VIII.	$\sin(u+\lambda -{\text{☊ }})={}$	$2\cos ^{2}{\frac {1}{2}}i\,\sin u\cos(\lambda -{\text{☊ }})$
IX.	$\sin(u+\lambda -{\text{☊ }})={}$	$\operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}i\,\sin \beta \cos(\lambda -{\text{☊ }})$
X.	$\sin(u+\lambda -{\text{☊ }})={}$	$\operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}i\,\operatorname {tang} \beta \cos u$.

L’angle $u-\lambda +{\text{☊ }}$, toutes les fois que $i$ est plus petit que 90°, ou $u+\lambda -{\text{☊ }},$ toutes les fois que $i$ dépasse 90° est, d’après l’usage ordinaire, appelé la réduction à l’écliptique ; il est en effet, la différence entre la longitude héliocentrique $\lambda$ et la longitude dans l’orbite qui est selon cet usage ${\text{☊ }}\pm u$ (d’après le nôtre ${\text{☊ }}+u$). Toutes les fois que l’inclinaison est petite ou peu différente de 180°, cette réduction peut être considérée comme une quantité du second ordre, et dans ce cas il sera certainement préférable de calculer d’abord $\beta$ par la formule III, et ensuite $\lambda$ par VII ou X ; de cette manière il sera permis d’atteindre une précision plus grande que par la formule I.

Si l’on abaisse une perpendiculaire de la position du corps céleste dans l’espace sur le plan de l’écliptique, la distance du point d’intersection au Soleil est appelée la distance raccourcie. En la désignant par $r',$ le rayon vecteur aussi par $r$, nous aurons

XI.

$r'=r\cos \beta .$

51

Comme exemple, nous continuerons plus avant, le calcul commencé dans les articles 13 et 14, dont la planète Junon nous avait fourni les nombres.

Nous avons trouvé ci-dessus l’anomalie vraie $315^{\circ }\,1'\,23''\!,02$, le logarithme du rayon vecteur $0,3259877\,;$ soient maintenant, $i=13^{\circ }\,6'\,44''\!,10$, la distance du périhélie au nœud $=241^{\circ }\,10'\,20''\!,57$,