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cette hypothèse, la vraie équation^[1] devrait être de la forme ${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+k^{2}\left({\frac {d^{4}z}{dx^{4}}}+2{\frac {d^{4}z}{dx^{2}dy^{2}}}+{\frac {d^{4}z}{dy^{4}}}\right)=0$, en supposant d’ailleurs $z$ très petit. Je n’ai point vérifié ce calcul ; on peut s’en rapporter à son auteur. Mais ce qui du premier coup d’œil confirme son exactitude, c’est qu’en supposant la surface vibrante réduite à une lame d’une largeur constante, ce qui peut s’exprimer en faisant ${\frac {dz}{dy}}=0$, on retombe sur l’équation ${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+k^{2}{\frac {d^{4}e}{dx^{4}}}$^[2],

1. Voici une note de Lagrange communiquée aux commissaires pour le prix de la surface élastique (déc. 1811) : L’équation fondamentale pour le mouvement de la surface vibrante ne me paraît pas exacte, et la manière dont on cherche à la déduire de celle d’une lame élastique en passant d’une ligne à une surface me paraît peu juste. Lorsque les $z$ sont très petits, l’équation se réduit à :
   ${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+gEbc\left({\frac {d^{6}z}{dx^{4}dy^{2}}}+{\frac {d^{6}z}{dy^{4}dx^{2}}}\right)$ ;

   Mais en adoptant, comme l’auteur ${\frac {1}{y}}+{\frac {1}{y'}}$ pour la mesure de la courbure de la surface, que l’élasticité tend à diminuer, et à laquelle on la suppose proportionnelle, je trouve dans les cas des $z$ très petits une équation de la forme :

   ${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+k^{2}\left({\frac {d^{4}z}{dx^{4}}}+2{\frac {d^{4}z}{dx^{2}dy^{2}}}+{\frac {d^{4}z}{dy^{4}}}\right)=0$,

   
   qui est bien différente de la précédente.

2. Mémoire d’Euler cité plus haut.