ABAILARD — ABAISSEMENT — 16 —
Les principales éditions des œuvres d’Abailard sont : Petri Abailardi philosophi… opera nunc primum edita ex mss. codd. Francisci Ambocsii ; Paris (Buon), 1616, in-4. — Petri Abailardi abbatis Ruyensis et Heloissæ abbatissæ Paracletensis opera… cura Richardi Rawlinson ; Londres, 1718, in-4. — Magistri Petri Abailardi epistola quæ est historia calamitatum suarum ad amicum scripta. Heloissæ et Abælardi epistolæ… ed. G. Orellius ; Zurich, 1841, in-4. — Ancienne Héloïse, manuscrit nouvellement retrouvé des lettres inédites d’Abailard et d’Héloïse, traduit par de Lonchamps et publié par A. de Puyberland (P. R. Auguis) ; Paris, 1823, 2 vol. in-8. — Lettres d’Abailard et d’Héloïse, traduites du latin sur le ms. 2923 de la bibl. royale, par M. Ed. Oddoul, et précédées d’un Essai sur la vie et les écrits d’Abélard par M. et Mme Guizot ; Paris, 1837, 2 vol. in-8. — Victor Cousin, Ouvrages inédits d’Abélard ; Paris, 1836, gr. in-4. — Petri Abælardi opera, éd. Victor Cousin ; Paris 1849-1859, 2 vol. in-4. — Petri Abælardi abbatis Ruyensis opera omnia juxta ed. parisiensem anni 1616 ; Paris, 1855, in-8. (Patrol. lat. de Migne, t. 178).
Bibl. : Hist. littér. de la France, t. XII (1763), pp. 86-152. — Berington (Jos.), The History of the lives of Abeillard and Heloisa ; Londres, 1784, in-4. ; 3e éd. Bâle, 1793, 2 vol. in-8 ; trad. allem. par Sam. Hahnemann ; Leipzig, 1788, in-8. — Lenoir (Alexandre), Notice historique sur la sépulture d’Héloïse et d’Abélard ; Paris, 1815, in-8. — Feuerbach (L.), Abaelard und Heloise oder der Schriflsteller und der Mensch ; Ansbach, 1833, in-8, et Leipzig, 1814, in-8. — Geruzez (Eug.), Pierre Abélard ; Paris, 1841, in-8 — Carriere (Moritz), Abälard und Heloise ; Giessen, 1844, in-12, et 1853, in-8. — Rémusat (Charles de), Abélard ; Paris, 1845, 2 vol. in-8. — Jacobi (Just. Lud.), Abelard und Heloise ; Berlin, 1850, in-8. — Tosti (Luigi), Storia di Abelardo e dei suoi tempi ; Naples, 1851, in-8. — Bonnier (Ed.), Abélard et saint Bernard, la Philosophie et l’Eglise au xiie siècle ; Paris, 1862, in-18. — Lamartine (Alph. de), Héloïse et Abélard ; Paris, 1864, 4e éd. in-18. — Lalanne (Lud.), Quelques doutes sur l’authenticité de la correspondance amoureuse d’Héloïse et d’Abélard, dans Correspondance littéraire, t. I (1856), pp. 27.-33. — Hayd (H), Abälard und seine Lehre in Verhältniss zur Kirche und ihrem Dogma ; Ratisbonne, 1863, in-4. — Gréard (Oct.), Des lettres d’Abélard et d’Héloïse et de leurs traducteurs ; Paris, 1869, in-8.— Renan (Ern.), Sur l’Etymologie du nom d’Abélard, dans Revue celtique, t. I (1870), pp. 265-268. — Rémusat (Charles de), Abélard, drame ; Paris 1877, in-8.
ABAIRUCU (Bot.) (V. Cynometra).
ABAISSE. Terme de pâtisserie servant à désigner un morceau de pâte qui a été abaissé, c.-à-d. sur lequel on a passé un rouleau pour l’étendre ou pour en diminuer l’épaisseur. La pâte qui forme le fond des bourdins couverts ou non couverts, est abaissée et s’appelle abaisse ; quand le bourdin est couvert, la pâte qui le ferme est également abaissée, puis, roulée tout autour, conjointement avec l’abaisse du fond ; la pâte avec laquelle on fait les nouilles est également étendue au moyen du rouleau et nommée abaisse.
ABAISSÉ (V. Blason).
ABAISSEMENT. I. MATHÉMATIQUES. — 1° Algèbre. En algèbre abaisser le degré d’une équation, c’est en ramener la résolution à celle d’une équation de degré moindre. Nous allons passer en revue les cas principaux où une équation est susceptible d’abaissement : —1° Une équation f (z) = o est susceptible d’abaissement lorsqu’elle ne renferme que les puissances de z dont l’exposant est divisible par un même nombre n ; effectivement, si le degré est désigné par mn, l’équation s’abaissera au. degré m, en posant z n = x. L’exemple le plus connu est fourni par l’algèbre élémentaire dans la résolution de l’équation bicarrée z4 + pz2 + g = o qui se ramène au second degré en posant z 2 =x. — 2° Quand on veut former une équation dont les racines soient les inverses• de celles d’une équation donnée, la transformation s’opère en remplaçant z par 4 ou 4 dans u z l’équation donnée (1)
AO zen +
A, zen ! +… + z +
A = 0
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et l’équation transformée ordonnée par rapport aux puissances de z est
(2) Am zen +Azm-i +… Aiz+AD=O
Il peut arriver que les équations (1) et (2) coïncident. Dans ce cas, l’équation proposée est dite réciproque ; l’inverse d’une racine quelconque est —aussi une racine. — D’après ce qui précède, si f (z) = o est une équation réciproque du degré m, on aura Identiquement : t (z)=X zen f(),). étant un facteur indépendant de z. Faisons z = + 1, puis z = — 1, il vient f(4)=) 1(I), f(-4)=(--4)m). f(-1). Si f (1) et f (— 1) ne sont pas nuls, c.-à-d. si f (z) n’est divisible par aucun des facteurs binômes z + 1, z — 1, on voit que)t = 1 et que le degré de l’équation est un montre que l’on a alors (4) f (z) =A, z2l4 + A, z2N•-i +… + Ap —1 zN+’+ Ap, zN + Ap _, zEx— ! zV’t +… + A, z + A0,
en sorte que les coefficients de deux termes également éloignés des extrêmes sont égaux et de même signe. — Les équations réciproques sont susceptibles d’abaissement. Comme on peut toujours supposer qu’une équation réciproque ait été débarrassée des racines + 1 et —1 qu’elle peut avoir, elle sera nécessairement comme (4) d’un degré pair 2p, et on pourra lui donner la forme 1
Ao zp• + Tl +
A, ( + — 1 / + 1 zN— zN•-i +A (z+1)+Ap=O z Cela posé, si l’on fait z + — = x et généralement Vn = zn + 2, puis que l’on multiplie Vn_, = zn-I + 41 par x = z + 1, on trouvera x Vn-, _ (zn + 2) + (zn —2 + 1 2) ouVn=xV, _1—Vn-2
On a V, = x, Vo = 2, et, en faisant usage de la formule précédente, on pourra exprimer successivement V2, V3, V4,….. par des fonctions de x ; il est évident que V. sera une fonction entière de x du degré n. On trouve V2= x2— 2 V3 = x3 — 3x V4= x4-4x2+ 2 V5 = x5 — 5x3 + 5x
On trouvera plus loin, au mot ALGÈBRE, l’expression générale de Vn. D’après cela, l’équation proposée pourra être ramenée à une équation du degré z en x, et les racines z de la proposée seront données par la formule générale. z2 —zx+1= O d’où z = 2 — ! — V 4 —4
Il faut remarquer aussi que le premier membre de l’équation proposée est égal au produit (z2 — xoz + 4) (z2 — x, z + 1)… (z2 — xp —, z + 4)+ xc, x„ x2,… xv_1 désignant les p. racines de l’équation en x. — Cette méthode d’abaissement des équations
