Page:Henri Poincaré - Leçons sur la théorie de l'élasticité, 1892.djvu/96

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86 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTICITÉ Les équations de l'équilibre intérieur deviennent par suite ; ( (^ + !^-) £+^•^' = -^ (H) (X+^)^+i.A^=-Y Ce sont trois équations aux dérivées partielles du second ordre qui, avec les conditions aux limites exprimées par les équations à la surface (I), doivent déterminer complètement l, Tj, Ç. Mais l'intégration générale de ces équations présente des difficultés insurmontables. On peut seulement traiter quelques cas particulièrement simples. 44. Cas d'un milieu indéfini. — Supposons que le milieu élastique soit indéfini et que X, Y, Z s'annulent à l'in- fini ; l, 'I], Ç s'annulent aussi à l'infini et les conditions aux limites disparaissent. Il suffit alors de trouver pour le système (II) des intégrales l, -^, C s'annulant à l'infini. Pour cela difièrencions la première des équations (II) par rapport à a;, la seconde par rapport à y, la troisième par rap- port à z, et ajoutons. 11 vient : ^ "T V-) [^^2 -r ^iy2 -r ^^2j -r !^-^ \^^^ '^ dy'^ dz) ç/Y ^\ '^'dy'^ dz) d\ dx