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CHAPITRE III.

Nous avons donc à résoudre par rapport aux $n+1$ inconnues

$\beta _{1},\,\beta _{2},\,\dots ,\,\beta _{n},\,\tau$

les $n$ équations

(5)

$\psi _{1}=\psi _{2}=\dots =\psi _{n}=0.$

Nous avons une inconnue de trop ; nous pouvons donc poser arbitrairement, par exemple,

$\beta _{n}=0.$

Nous tirerons ensuite des équations (5), $\beta _{1},\,$ $\beta _{2},\,$ $\dots ,\,$ $\beta _{n-1}$ et $\tau$ en fonctions holomorphes de $\mu$ s’annulant avec $\mu .$ Cela est possible, à moins que le déterminant

$\left|{\begin{array}{ccccc}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}&\dots &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{n-1}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\tau }}\\{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}&\dots &{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{n-1}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\tau }}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{2}}}&\dots &{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{n-1}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\tau }}\\\end{array}}\right|$

ne soit nul pour $\mu =\varphi _{i}=\tau =0.$

Si ce déterminant était nul, au lieu de poser arbitrairement $\beta _{n}=0,$ on poserait, par exemple, $\beta _{i}=0,$ et la méthode ne serait en défaut que si tous les déterminants contenus dans la matrice

$\left|\left|{\begin{array}{ccccc}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}&\dots &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{n}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\tau }}\\{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}&\dots &{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{n}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\tau }}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{2}}}&\dots &{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{n}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\tau }}\\\end{array}}\right|\right|$

étaient nuls à la fois. (Il est à remarquer que le déterminant obtenu en supprimant la dernière colonne de cette matrice est toujours nul pour $\mu =\beta _{i}=\tau =0.$)

Comme en général tous ces déterminants ne seront pas nuls à la fois, les équations (1) admettront, pour les petites valeurs de $\mu ,$ une solution périodique de période $\mathrm {T} +\tau .$