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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.

les valeurs de $\Lambda$ et $\Lambda ',$ et

$\xi _{0}+\psi _{3},\quad \eta _{0}+\psi _{4},\quad \xi '_{0}+\psi _{5},\quad \eta '_{0}+\psi _{6}$

les valeurs des quatre dernières variables (1).

Pour que la solution soit périodique, il faut que

$\psi _{0}=\psi _{1}=\psi _{2}=\psi _{3}=\psi _{4}=\psi _{5}=\psi _{6}=0.$

Ces équations ne sont pas distinctes ; les équations différentielles du mouvement admettent en effet deux intégrales : celle des forces vives et celle des aires. Le jacobien de ces deux intégrales par rapport à $\Lambda$ et $\Lambda '$ n’est pas nul pour

$\mu =0,\quad \xi =\eta =\xi '=\eta '=0.$

Les équations $\psi _{1}=\psi _{2}=0$ sont donc une conséquence des cinq autres.

Nous avons donc à résoudre le système

(2)

$\psi _{0}=\psi _{3}=\psi _{4}=\psi _{5}=\psi _{6}=0,$

auquel nous adjoindrons l’équation des forces vives $\mathrm {F} =\mathrm {C} ,$ où nous regarderons la constante $\mathrm {C}$ comme une donnée de la question.

Il faut donc que nous considérions le déterminant fonctionnel des premiers membres de ces six équations par rapport aux six variables

$\beta _{1},\quad \beta _{2},\quad \xi _{0},\quad \eta _{0},\quad \xi '_{0},\quad \eta '_{0}$

et que nous démontrions que ce déterminant ne s’annule pas pour

$\mu =\beta _{1}=\beta _{2}=\xi _{0}=\eta _{0}=\xi '_{0}=\eta '_{0}=0.$

Or, pour $\mu =0,$ on a

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}={\frac {\gamma }{\left(\Lambda _{0}+\beta _{1}\right)^{2}}}+{\frac {\gamma '}{\left(\Lambda '_{0}+\beta _{2}\right)^{2}}},$

$\gamma$ et $\gamma '$ étant des constantes dépendant des masses,

${\begin{array}{c}\psi _{0}={\dfrac {2\pi }{n'-n}}\left[n'\left(1+{\dfrac {\beta _{2}}{\Lambda '_{0}}}\right)^{-3}-n\left(1+{\dfrac {\beta _{1}}{\Lambda _{0}}}\right)^{-3}\right],\\{\begin{alignedat}{5}\psi _{3}&=\xi _{0}\left(\cos \lambda _{0}\!-\!1\right)&{}-{}&\eta _{0}\sin \lambda _{0},&\quad &\psi _{4}&=\xi _{0}\sin \lambda _{0}&{}+{}&\eta _{0}\left(\cos \lambda _{0}\!-\!1\right),\\\psi _{5}&=\xi '_{0}\left(\cos \lambda '_{0}\!-\!1\right)&{}-{}&\eta '_{0}\sin \lambda '_{0},&\quad &\psi _{6}&=\xi '_{0}\sin \lambda '_{0}&{}+{}&\eta '_{0}\left(\cos \lambda '_{0}\!-\!1\right),\end{alignedat}}\end{array}}$