Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 1, 1892.djvu/153

141

SOLUTIONS PÉRIODIQUES.

la sommation étant étendue à tous les termes, tels que

$\alpha =0,\quad \mathrm {ou} \quad m_{1}n+m_{2}n'=0.$

D’après les principes du numéro précédent, on trouvera les valeurs cherchées de $\mathrm {H} _{0},$ $l_{0},$ $l'_{0}$ et $h_{0}$ en résolvant le système

${\frac {d\mathrm {R} }{d\mathrm {H} _{0}}}={\frac {d\mathrm {R} }{dl_{0}}}={\frac {d\mathrm {R} }{dl'_{0}}}={\frac {d\mathrm {R} }{dh_{0}}}=0.$

Nous pouvons toujours supposer que l’origine du temps ait été choisie de telle sorte que $l_{0}=0.$

D’autre part, d’après la définition de la fonction $\mathrm {R} ,$ on a

$n{\frac {d\mathrm {R} }{dl_{0}}}+n'{\frac {d\mathrm {R} }{dl'_{0}}}=0.$

On peut donc remplacer le système précédent par le système plus simple

(1)

${\frac {d\mathrm {R} }{d\mathrm {H} _{0}}}={\frac {d\mathrm {R} }{dl'_{0}}}={\frac {d\mathrm {R} }{dh_{0}}}=0.$

Il pourrait arriver que toutes les solutions du système (1) ne conviennent pas ; mais il y a des solutions qui conviendront certainement : ce sont celles dont l’ordre de multiplicité est impair, et en particulier celles qui correspondent à un maximum ou à un minimum véritable de $\mathrm {R.}$

Pour établir l’existence des solutions de la deuxième sorte, il me suffit donc de montrer que la fonction $\mathrm {R}$ a un maximum.

Or cette fonction $\mathrm {R}$ est essentiellement finie ; de plus elle est périodique en $l'_{0}$ et $h_{0}\,:$ elle dépend encore de $\mathrm {H} _{0}\,;$ j’ajouterai qu’elle est développable suivant les puissances de

(2)

${\sqrt {\Lambda _{0}^{2}-\mathrm {H} _{0}^{2}}}\quad \mathrm {et} \quad {\sqrt {{{\Lambda '}_{0}^{2}}-(\mathrm {H} _{0}-\mathrm {C} )^{2}}},$

$\mathrm {C}$ étant la constante des aires.

La fonction $\mathrm {R}$ ne sera donc réelle que si l’on a

(3)

$\mathrm {H} _{0}^{2}<\Lambda _{0}^{2},\quad (\mathrm {H} _{0}-\mathrm {C} )^{2}<{\Lambda '}_{0}^{2},$

et $\mathrm {H} _{0}$ devra toujours être compris entre ces deux limites. Je puis