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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.

linéaire à coefficients entiers

$\alpha n+\beta n'+\gamma n''=0,$

$\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ étant trois entiers, premiers entre eux, tels que

$\alpha +\beta +\gamma =0.$

on pourra trouver alors trois entiers $\lambda ,\,\lambda '$ et $\lambda ''$tels que

$\alpha \lambda +\beta \lambda '+\gamma \lambda ''=0.$

et on aura

$n=\lambda \mathrm {A} +\mathrm {B} ,\quad n'=\lambda '\mathrm {A} +\mathrm {B} ,\quad n''=\lambda ''\mathrm {A} +\mathrm {B} .$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des quantités quelconques.

Au bout d’un temps $\mathrm {T} ,$ les longitudes des trois corps auront augmenté de

$\lambda \mathrm {AT} +\mathrm {BT} ,\quad \lambda '\mathrm {AT} +\mathrm {BT} ,\quad \lambda ''\mathrm {AT} +\mathrm {BT} ,$

et les différences de longitude du second et du troisième satellite avec le premier auront augmenté de

$(\lambda -\lambda ')\mathrm {AT} ,\quad (\lambda -\lambda '')\mathrm {AT} .$

Si donc on choisit $\mathrm {T}$ de telle sorte que $\mathrm {AT}$ soit multiple de $2\pi ,$ les angles formés par les rayons vecteurs menés du corps central aux trois satellites auront repris leur valeur primitive. Ainsi la solution considérée pour $\mu =0$ est périodique de période $\mathrm {T.}$

Le problème comportera-t-il encore une solution périodique de période $\mathrm {T}$ quand on tiendra compte des actions mutuelles des trois petits corps, et que leur mouvement ne sera plus képlérien, ou en d’autres termes quand on donnera au paramètre $\mu$ non plus la valeur 0, mais une valeur très petite ?

Une analyse toute semblable à celle du n^o 40 prouve qu’il en est effectivement ainsi ; il y a une solution périodique de période $\mathrm {T}$ analogue aux solutions de la première sorte et où les orbites sont presque circulaires. Les trois petits corps sont, tant au début qu’au milieu de chaque période, en conjonction ou en opposition symétrique.