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CHAPITRE IV.

et dont la période est égale à

$\mathrm {T} '=\int _{0}^{\mathrm {T} }{\frac {dt}{\Phi }}\cdot$

On doit remplacer dans $\Phi ,$ avant l’intégration, $x_{i}$ par $\varphi _{i}(t).$

Pour résoudre les équations (2 bis), nous tiendrons compte de la valeur de ${\frac {dt}{d\tau }}$ et nous les écrirons

${\frac {d\xi _{i}}{dt}}=\sum {\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{k}}}\xi _{k}+\mathrm {X} _{i}\sum {\frac {{\dfrac {d\Phi }{dx_{k}}}\xi _{k}}{\Phi }}\cdot$

Posons ensuite

$\xi _{i}=\eta _{i}+\mathrm {X} _{i}\lambda ,$

il vient

${\begin{aligned}{\frac {d\eta _{i}}{dt}}&+\mathrm {X} _{i}{\frac {d\lambda }{dt}}+\sum \lambda {\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{k}}}\mathrm {X} _{k}\\&=\sum {\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{k}}}\eta _{k}\!+\!\sum \lambda {\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{k}}}\mathrm {X} _{k}\!+\!{\frac {\mathrm {X} _{i}}{\Phi }}\sum {\frac {d\Phi }{dx_{k}}}\eta _{k}\!+\!{\frac {\mathrm {X} _{i}\lambda }{\Phi }}\sum {\frac {d\Phi }{dx_{k}}}\mathrm {X} _{k},\end{aligned}}$

ce qui montre qu’on peut satisfaire aux équations (2 ter) en prenant

${\begin{aligned}\eta _{i}&=e^{\alpha t}\psi _{i}(t)&\mathrm {et} &&\Phi {\frac {d\lambda }{dt}}&=\lambda \sum {\frac {d\Phi }{dx_{k}}}\mathrm {X} _{k}+\sum {\frac {d\Phi }{dx_{k}}}e^{\alpha t}\psi _{k}(t).\end{aligned}}$

On peut tirer de là

$\lambda =e^{\alpha t}\theta (t)$

et

$\xi _{i}=e^{\alpha t}\theta _{i}(t),$

$\theta (t)$ et les $\theta _{i}(t)$ étant périodiques en $t.$ Il faudra ensuite remplacer $t$ par sa valeur tirée de l’équation

${\frac {dt}{d\tau }}=\Phi \left[\varphi _{1}(t),\,\varphi _{2}(t),\,\ldots ,\,\varphi _{n}(t)\right].$

On trouve ainsi

$t={\frac {\mathrm {T} }{\mathrm {T} '}}\tau +f(\tau ),$

$f(\tau )$ étant une fonction périodique de $\tau \,;$ on a donc

$\xi _{i}=e^{{\frac {\alpha \mathrm {T} }{\mathrm {T} '}}\tau }e^{\alpha f(\tau )}\,\theta _{i}\left[{\frac {\mathrm {T} }{\mathrm {T} '}}\tau +f(\tau )\right],$