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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.

ne change pas $\mathrm {H} _{1}$ en remplaçant dans la première ligne et la dernière colonne $n_{i}$ par ${\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}.$ Le déterminant ainsi formé s’appellera le hessien bordé de $\mathrm {F} _{0}$ par rapport à $x_{1},$ $x_{2},$ $\ldots ,$ $x_{n}.$

Ainsi l’équation $\mathrm {G} _{1}(\varepsilon ,0)=0$ ne peut avoir plus de deux racines nulles et, par conséquent, il ne peut y avoir plus de deux exposants caractéristiques nuls que si $\mathrm {H} _{1}$ ou $\mathrm {H} _{2}$ s’annulent.

Dans le cas particulier du problème des trois Corps que nous avons traité au n^o 9, il n’y a que 2 degrés de liberté et l’on a

$\mathrm {F} _{0}={\frac {1}{2x_{1}^{2}}}+x_{2}.$

Il vient alors

$\mathrm {H} _{1}=\left|{\begin{array}{ccc}{\dfrac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}&{\dfrac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}&0\\{\dfrac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}^{2}}}&{\dfrac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}\,dx_{2}}}&{\dfrac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}\\{\dfrac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}\,dx_{2}}}&{\dfrac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}^{2}}}&{\dfrac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}\\\end{array}}\right|=\left|{\begin{array}{ccc}-x_{1}^{-3}&1&0\\3x_{1}^{-4}&0&-x_{1}^{-3}\\0&0&1\end{array}}\right|=-3x_{1}^{-4}\,;$

donc $\mathrm {H} _{1}$ n’est pas nul ; d’autre part, on vérifie que $\mathrm {H} _{2}={\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{2}^{2}}}$ n’est pas nul non plus.

Donc, dans ce cas particulier du problème des trois Corps, il y a deux exposants caractéristiques nuls et les deux autres sont différents de 0.

75.Le déterminant $\mathrm {G} _{1}$ peut être un peu simplifié par un choix convenable des variables. Je dis qu’on peut toujours supposer

(1)

$n_{2}^{0}=n_{3}^{0}=\ldots =n_{n}^{0}=0.$

En effet, si cela n’était pas, on changerait de variables en prenant pour variables nouvelles $x'_{i}$ et $y'_{i}$ et en faisant

${\begin{aligned}y'_{i}&=\alpha _{1,i}y_{1}\,+\alpha _{2,i}y_{2}+\ldots +\alpha _{n,i}y_{n},\\x_{i}&=\alpha _{i,1}x'_{1}+\alpha _{i,2}x'_{2}+\ldots +\alpha _{i,n}x'_{n},\\\end{aligned}}$

les $\alpha _{i,k}$ étant des coefficients constants. Après ce changement linéaire de variables, les équations conserveront la forme canonique.

Après ce changement de variables, les quantités qui correspon-