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CHAPITRE IV.

dront à $n_{1}^{0},$ $n_{2}^{0},$ $\ldots ,$ $n_{n}^{0},$ et que nous appellerons ${n_{1}'}^{0},$ ${n_{2}'}^{0},$ $\ldots ,$ ${n_{n}'}^{0},$ seront données par les relations

${n'_{i}}^{0}=\alpha _{1,i}n_{i}^{0}+\alpha _{2,i}n_{i}^{0}+\ldots +\alpha _{n,i}n_{i}^{0},$

car

${\begin{aligned}{n'_{i}}^{0}&=-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx'_{i}}},&n_{i}^{0}&=-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}},&{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx'_{i}}}&=\sideset {}{_{k}}\sum {\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{k}}}{\frac {dx_{k}}{dx'_{i}}}=\sum {\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{k}}}\alpha _{k,i}.\end{aligned}}$

Comme les nombres $n_{1}^{0},\,n_{2}^{0},\,\ldots ,\,n_{n}^{0}$ sont commensurables entre eux, nous pourrons toujours choisir les $\alpha _{i,k}$ de telle façon :

1^o Que les $\alpha _{i,k}$ soient entiers ;

2^o Que leur déterminant soit égal à 1. Ces deux conditions sont nécessaires pour que $\mathrm {F}$ reste périodique par rapport aux $y'$ comme il l’était par rapport aux $y$ ;

3^o Que

${n'_{2}}^{0}={n'_{3}}^{0}=\ldots ={n'_{n}}^{0}=0.$

Ainsi nous pouvons toujours supposer que les conditions (1) sont remplies et nous en déduisons les équations suivantes

(2)

${\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{1}\,d\varpi _{i}}}=0\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n).$

76.Un cas particulier intéressant est celui où une ou plusieurs des variables $x_{i}$ n’entrent pas dans $\mathrm {F} _{0}.$ Supposons, par exemple, que $\mathrm {F} _{0}$ ne dépende pas de $x_{n}.$ Alors tous les éléments de la $n$^ième colonne [et ceux de la $2n$^ième ligne] sont tous nuls, sauf celui d’entre eux qui appartient à la diagonale principale et qui reste égal à $\varepsilon \mathrm {T} .$

Je supposerai de plus que les variables aient été choisies de telle sorte que les conditions (1) et (2) du numéro précédent soient remplies. Il en résulte que les éléments de la première ligne [et ceux de la $(n+1)$^ième colonne] sont tous nuls, à l’exception de celui d’entre eux qui appartient à la diagonale principale et qui reste égal à $-\varepsilon \mathrm {T} .$

Ainsi tous les éléments des lignes $1$ et $2n$ et tous ceux des colonnes $n$ et $n+1$ sont divisibles par $\varepsilon$ (j’ajouterai que tout élément qui appartient à la fois à une de ces deux lignes et à une de ces deux colonnes est nul et, par conséquent, divisible par $\varepsilon ^{2})\,;$