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CHAPITRE IV.

Nous pourrons diviser ce déterminant par en supprimant les lignes et et les colonnes de même numéro, et en divisant par les éléments de la première ligne et de la ième colonne.

Si on fait ensuite on voit que le déterminant se réduit au produit de deux autres, à savoir :

1o Le hessien bordé de par rapport à

2o Le hessien de par rapport à

Pour qu’il y ait plus de quatre exposants caractéristiques nuls, il faut (mais il ne suffit pas) que l’un de ces deux hessiens soit nul.

Supposons maintenant que non seulement ne contienne pas mais encore ne contienne pas non plus en raisonnant de la même manière, on arriverait au résultat suivant :

L’équation a toujours six racines nulles ; pour qu’elle en ait davantage, il faut et il suffit que le hessien bordé de par rapport à soit nul, ou bien que le hessien de par rapport à soit nul. Cette condition est donc nécessaire (mais non suffisante) pour qu’il y ait plus de six exposants caractéristiques nuls.

77.Reprenons les hypothèses faites au début du no 76, à savoir que ne dépend pas de et que les conditions (1) et (2) du no 75 sont remplies.

Nous avons vu que l’équation

admet alors quatre racines nulles et quatre seulement, et nous en avons conclu qu’il ne peut pas y avoir plus de quatre exposants nuls. Il n’est pas, au contraire, permis d’en conclure qu’il y a quatre exposants nuls ; cela prouve seulement que, quand on développe ces exposants suivant les puissances de le premier terme du développement est nul pour quatre d’entre eux.

Il nous reste à voir si les termes suivants du développement sont nuls également.

Je sais que deux exposants sont nuls puisque le temps n’entre pas explicitement dans les équations différentielles et que est une intégrale. Je me propose de rechercher ce