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CHAPITRE V.

Je dis qu’une fonction $\Phi$ de cette forme ne peut pas être une intégrale des équations (1).

La condition nécessaire et suffisante pour qu’une fonction $\Phi$ soit une intégrale s’écrit, en reprenant la notation du n^o 3,

$\left[\mathrm {F} ,\Phi \right]=0,$

ou en remplaçant $\mathrm {F}$ et $\Phi$ par leurs développements

${\begin{aligned}0&=[\mathrm {F} _{0},\Phi _{0}]+\mu \left([\mathrm {F} _{1},\Phi _{0}]+[\mathrm {F} _{0},\Phi _{1}]\right)\\&+\mu ^{2}\left([\mathrm {F} _{2},\Phi _{0}]+[\mathrm {F} _{1},\Phi _{1}]+[\mathrm {F} _{0},\Phi _{2}]\right)+\ldots .\end{aligned}}$

Nous aurons donc séparément les équations suivantes, dont je ferai usage plus loin,

(2)

$[\mathrm {F} _{0},\Phi _{0}]=0$

et

(3)

$[\mathrm {F} _{1},\Phi _{0}]+[\mathrm {F} _{0},\Phi _{1}]=0.$

Je dis que je puis toujours supposer que $\Phi _{0}$ n’est pas une fonction de $\mathrm {F} _{0}.$

En effet, supposons que l’on ait

$\Phi _{0}=\psi (\mathrm {F} _{0}).$

Je dis que la fonction $\psi$ sera une fonction uniforme en général, quand les variables $x$ resteront dans le domaine D.

Nous avons en effet

$\mathrm {F} _{0}=\mathrm {F} _{0}(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}).$

Nous pourrons résoudre cette équation par rapport à $x_{1}$ et écrire

$x_{1}=\theta (\mathrm {F} _{0},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}),$

et $\theta$ sera une fonction uniforme à moins que ${\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}$ ne s’annule à l’intérieur du domaine D.

En remplaçant $x_{1}$ par sa valeur $\theta$ dans

$\Phi _{0}\left({\begin{array}{c}x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\\y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n}\\\end{array}}\right),$