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DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.

d’où

$\mathrm {F} '_{1}-\mathrm {F} _{1}=\beta \beta '\left({\frac {r'\,\cos \omega }{r^{2}}}-{\frac {r\,\cos \omega }{r'^{2}}}\right)\cdot$

S’il existe une intégrale

$\Phi =\mathrm {const.} ,$

on pourra l’écrire, en prenant pour variables les éléments osculateurs des deux premières orbites [variables (4) du n^o 11], et l’on aura ainsi

$\Phi _{0}+\mu \Phi _{1}+\ldots =\mathrm {const.}$

On pourra l’écrire également en prenant pour variables les éléments osculateurs des deux nouvelles orbites (orbites de C par rapport à A et de B par rapport à E) ; on aura alors

$\Phi '_{0}+\mu \Phi '_{1}+\ldots =\mathrm {const.}$

$\Phi '_{0}$ sera formé avec les éléments des deux nouvelles orbites comme $\Phi _{0}$ avec les éléments correspondants des deux anciennes, mais $\Phi '_{1}$ ne sera pas formé comme $\Phi _{1}.$

On devra avoir alors, ainsi que nous l’avons vu au n^o 81,

$[\Phi _{0},\,\mathrm {F} _{1}]+[\Phi _{1},\,\mathrm {F} _{0}]=0,$

et de même

$[\Phi '_{0},\,\mathrm {F} '_{1}]+[\Phi '_{1},\,\mathrm {F} _{0}]=0\,;$

comme $\Phi '_{0}$ est formée comme $\Phi _{0},$ je puis supprimer l’accent et écrire

$[\Phi _{0},\,\mathrm {F} '_{1}]+[\Phi '_{1},\,\mathrm {F} _{0}]=0,$

d’où

(1)

$[\Phi _{0},\,\mathrm {F} '_{1}-\mathrm {F} _{1}]+[\Phi '_{1}-\Phi _{1},\,\mathrm {F} _{0}]=0.$

Nous avons vu que, s’il existe une intégrale uniforme et si, après avoir développé $\mathrm {F} _{1}$ on forme les expressions (14) du n^o 84, il doit y avoir entre ces expressions un certain nombre de relations.

Mais, en raisonnant sur l’équation (1) comme nous l’avons fait sur l’équation (3) du n^o 81, on arriverait à un résultat analogue. Développons $\mathrm {F} '_{1}-\mathrm {F} _{1}$ et formons à l’aide de ce développement les expressions (14) ; s’il existe une intégrale uniforme, il devra y avoir entre ces expressions un certain nombre de relations.