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CHAPITRE VI.

J’ai cru néanmoins devoir rattacher ce théorème à une théorie plus générale qui permettra peut-être de découvrir d’autres propositions analogues.

Principes de la méthode de M. Darboux.

93.Après cette digression, je reviens à mon sujet principal. Il convient d’abord de rappeler les résultats de M. Darboux, qui doivent nous servir de point de départ.

1^o Soit une série

$\varphi (x)={\textstyle \sum }a_{n}x^{n},$

admettant pour rayon de convergence $r.$

On aura, quand $n$ croîtra indéfiniment

${\begin{array}{ll}\lim a_{n}\rho ^{n}=0&\;\mathrm {si} \;\rho <r,\\\lim a_{n}\rho ^{n}=\infty &\;\mathrm {si} \;\rho >r.\\\end{array}}$

2^o Imaginons maintenant que la fonction

$\varphi (x)={\textstyle \sum }a_{n}x^{n},$

demeure finie sur la circonférence de rayon $r$ ainsi que ses $p$ premières dérivées ; le produit $n^{p+1}a_{n}r^{n}$ ne croîtra pas au delà de toute limite quand $n$ augmente.

3^o Si l’on a

$\varphi (x)=(1-\alpha x)^{k}={\textstyle \sum }a_{n}x^{n},$

on aura approximativement

(1)

$a_{n}={\frac {n^{1-k}\alpha ^{n}}{\Gamma (-k)}}\,;$

je veux dire que le rapport des deux membres de l’égalité (1) tendra vers 1, quand $n$ croîtra indéfiniment.

4^o Supposons maintenant que la fonction $\varphi (x)$ ait sur la circonférence de rayon $r$ deux points singuliers $x=\alpha$ et $x=\beta \,;$ que dans le voisinage du point $x=\alpha$ nous ayons

$\varphi (x)=\mathrm {A} _{1}\left(1-{\frac {x}{\alpha }}\right)^{\gamma _{1}}+\mathrm {A} _{2}\left(1-{\frac {x}{\alpha }}\right)^{\gamma _{2}}+\ldots +\mathrm {A} _{h}\left(1-{\frac {x}{\alpha }}\right)^{\gamma _{h}}+\psi (x)$